Wintersemester 2012/2013
Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis L¨osungen von Blatt V vom 9. November 2012
Aufgabe V.1(5 Punkte)
Zwei Vogelschw¨arme A und H fliegen jeweils geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Auf einem Radarschirm1 hat Schwarm A zum ersten Beobachtungszeitpunkt die Position (in Polarkoordinaten) A1= (4√
5; 26,57◦) und nach 900 Sekunden die PositionA2= (6,5; 22,62◦). Gleichzeitig hat Schwarm H zum ersten Beobachtungszeitpunkt die Position H1 = (2√
5; 116,57◦) und nach 600 Sekunden die PositionH2= (√
10; 108,44◦). Die verwendete L¨angeneinheit ist dabei cm und der Maßstab betr¨agt 1 : 400.000.
a) Zeichnen Sie die Flugrouten der beiden Schw¨arme in einx, y-Koordinatensystem ein. W¨ahlen Sie f¨ur die Zeichnung 1 L¨angeneinheit = 1 cm.
b) Berechnen Sie die Geradengleichungen der Flugrouten.
c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der beiden Schw¨arme unter Beachtung des angegebenen Maß- stabs.
d) Die beiden Schw¨arme fliegen auf gleicher H¨ohe. Wo kreuzen sich die Flugrouten?
Aufgabe V.2(5 Punkte)
Wir betrachten eine Ellipse in folgender Parameterdarstellung:
f: [0,2π]→R2, f(t) = 2 cos(t),sin(t) . a) Skizzieren Sie die Ellipse in einemx, y-Koordinatensystem.
b) Zeichnen Sie die Tangente an die Ellipse f¨urt= π4 undt=π.
c) Seien a, b ∈R mita < b. F¨ur eine differenzierbare Funktiong : [a, b]→R2,t 7→(g1(t), g2(t)), definieren wir die Funktiong0: (a, b)→R2 durch
g0(t) = (g01(t), g20(t)).
F¨urt∈(a, b) heißtg0(t)Tangentenvektor vongim Punktt.
Berechnen Sie den Tangentenvektor vonfin den Punktent= π4 undt=π.
Aufgabe V.3(5 Punkte)
Bestimmen Sie die L¨ange der folgenden Kurven.
a)f: [0,2π]→R2, f(t) = etcos(5t), etsin(5t)
b)f: [0,2π]→R3, f(t) = cos(4t),sin(4t), t c)f: [0,2]→R2, f(t) = t3,32t−103t5
Aufgabe V.4(5 Punkte)
a) Ordnen Sie den folgenden Funktionenf:R→R2 die entsprechenden Kurven zu.
i)f(t) = tcos(t), tsin(t)
ii)f(t) = cos(2t) cos(t),cos(2t) sin(t) iii)f(t) = (1 + cos(t)) cos(t),(1 + cos(t)) sin(t)
Bild 1 Bild 2
1Wir nehmen hierbei an, dass es sich um einx, y-Koordinatensystem handelt.
Bild 3
b) Geben Sie f¨ur die nachfolgenden Kurven jeweils eine Polardarstellungr(ϕ) an, d.h. eine Funktion r: [α, β]→[0,∞), wobeiαundβvorgegeben sind.
(α= 0, β= π4) (α= 0, β=π)
L¨osungsvorschl¨age Aufgabe V.1
Wir berechnen zun¨achst die kartesische Darstellung der gegebenen Punkte:
A1:x= 4√
5 cos(26,57◦)≈8, y= 4√
5 sin(26,57◦)≈4 ⇒A1 = (8,4) A2:x= 6,5 cos(22,62◦)≈6, y= 6,5 sin(22,62◦)≈2,5 ⇒A2= (6,2,5) H1 :x= 2√
5 cos(116,57◦)≈ −2, y= 2√
5 sin(116,57◦)≈4 ⇒H1 = (−2,4) H2 :x=√
10 cos(108,44◦)≈ −1, y=√
10 sin(108,44◦)≈3 ⇒H2 = (−1,3).
a) Durch die 2 Beobachtungspunkte f¨ur A und H k¨onnen wir die Fluglinien in ein x, y-Koordinatensystem eintragen. In der unten aufgef¨uhrten Zeichnung deuten die beiden Vektoren der L¨angeabzw.hdie zur¨uckgelegte Strecke und die Flugrichtung der beiden Schw¨arme an.
b
b
b b
A1
A2
H1 a H2
h
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
b) Die Geradengleichung durch die Punkte A1 und A2 bzw. H1 und H2 ist gegeben durch g1(x) = 34x−2 bzw. g2(x) =−x+ 2.
c) Wir berechnen zun¨achst die Entfernung, die die Schw¨arme zwischen den beiden Beobachtungspunkten zur¨uckgelegt haben. Dazu verwenden wir den Satz von Py- thagoras (vgl. Zeichnung):
a=p
(8−6)2+ (4−2,5)2 = 2,5 LE, h=p
(−2 + 1)2+ (4−3)2 =√ 2 LE.
Damit hat Schwarm A insgesamt 2,5cm ·4·105 = 10 km zwischen den Beobach- tungspunktenA1 undA2 zur¨uckgelegt. Da der Schwarm dazu 900sben¨otigt, ergibt sich als Geschwindigkeit
10 km 900s = 1
90 km
s = 40km h . SchwarmH hat insgesamt√
2cm ·4·105 = 5,66 km zwischen den Beobachtungs- punktenH1 undH2 zur¨uckgelegt. Da der Schwarm dazu 600sben¨otigt, ergibt sich als Geschwindigkeit
5,66km
600s = 0,00943km
s = 33,96km h . d) Wir berechnen den Schnittpunkt der Geradeng1 undg2:
3
4x−2 =−x+ 2⇔ 7
4x= 4⇔x= 16 7 .
Weiterhin gilt f¨ur die y-Koordinate:y=−7 + 2 =−7. Der Schnittpunkt lautet somitS = (167,−27).
Aufgabe V.2
Die Ellipse und die zugeh¨origen Tangenten f¨urt= π4 und t=π sehen wie folgt aus:
Ellipse (rot) mit zugeh¨origen Tangenten f¨urt=π4 (gelb) undt=π(gr¨un).
Es ist
f0(t) = (−2 sin(t),cos(t)).
Somit ergibt sich als Tangentialvektor f¨ur t= π4 der Vektor f0(π4) = (−√ 2,√1
2) und als Tangentialvektor f¨ur t = π der Vektor f0(π) = (0,1). Diese Vektoren sind gerade die Richtungsvektoren der jeweiligen Geraden im obigen Bild.
Aufgabe V.3
a) Zun¨achst istf0(t) =et(cos(5t)−5 sin(5t),sin(5t) + 5 cos(5t)). F¨ur die L¨ange dieses Vektors gilt
f0(t)
=et q
cos2(5t)−10 cos(5t) sin(5t) + 25 sin2(5t) + sin2(5t) + 10 cos(5t) sin(5t) + 25 cos2(5t)
=et√
1 + 25 =√ 26et. F¨ur die L¨ange der Kurve gilt somit:
L=
2π
Z
0
f0(t)
dt=√ 26
2π
Z
0
etdt=√ 26et
2π 0
=√
26(e2π−1).
b) Zun¨achst istf0(t) = (−4 sin(4t),4 cos(4t),1) und somit
f0(t) =
q
16(sin2(4t) + cos2(4t)) + 1 =√
16 + 1 =√ 17.
Somit ist
L=
2π
Z
0
√17dt=√ 17·2π.
c) Zun¨achst istf0(t) = (3t2,32 −32t4). F¨ur die L¨ange dieses Vektors gilt f0(t)
= q
9t4+ 94− 92t4+ 94t8
= 3 2
pt8+ 2t4+ 1 = 3
2(t4+ 1).
Somit ist
L= 3 2
2
Z
0
(t4+ 1)dt= 3 2
1 5t5+t
2 0
= 63
5 = 12,6.
Aufgabe V.4
a) Bild 1 geh¨ort zu Funktion ii), Bild 2 geh¨ort zu Funktion iii) und Bild 3 geh¨ort zu Funktion i). Dies l¨asst sich z.B. durch Einsetzen des Punktes t = 0 sehr einfach
¨uberpr¨ufen.
b) Aus dem ersten Bild entnehmen wir, dass die x-Koordinate jedes Kurvenpunktes 1 ist. In Polarkoordinaten:
r(ϕ) cos(ϕ) = 1⇐⇒r(ϕ) = 1 cos(ϕ).
Zu beachten ist hierbei, dass cos(ϕ) 6= 0 f¨ur alle ϕ ∈[0,π4]. Dies ist die gesuchte Polardarstellung r(ϕ) der Kurve, denn f¨ur diey-Koordinate gilt entsprechend
y=r(ϕ) sin(ϕ) = sin(ϕ)
cos(ϕ) = tan(ϕ) und tan([0,π4]) = [0,1].
Das zweite Bild beschreibt einen Kreis um den Punkt (0,1) mit Radius 1, d.h. es gilt
x2+ (y−1)2 = 1. (1)
Es ist x = r(ϕ) cos(ϕ) und y =r(ϕ) sin(ϕ) mit einer zu bestimmenden Funktion r(ϕ), wobeiϕ∈[0, π]. Setzen wir dies in Gleichung (1) ein, erhalten wir
r(ϕ)2cos2(ϕ) + (r(ϕ) sin(ϕ)−1)2= 1⇐⇒r(ϕ)·[r(ϕ)−2 sin(ϕ)] = 0.
Hieraus erhalten wir r(ϕ) = 0 oder r(ϕ) = 2 sin(ϕ). Die erste L¨osung k¨onnen wir ausschließen und folglich ist die gesuchte Funktion gerade r(ϕ) = 2 sin(ϕ).
