April, 10 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors) Aufgabe II.1 (6 Punkte) a) Der sogenannte Einheitssimplex im Rn ist definiert als die Menge ∆n

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Sommersemester 2010 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zur Analysis II¨ Blatt II vom 22. April 2010

(Abgabe bis Donnerstag, 29. April, 10 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors)

Aufgabe II.1 (6 Punkte)

a) Der sogenannte Einheitssimplex im Rⁿ ist definiert als die Menge

∆n= (

x∈Rⁿ

n

X

i=1

xi≤1 und∀i= 1, . . . , n:xi≥0 )

.

Skizzieren Sie ∆₂ und ∆₃.

b) Skizzieren Sie f¨ur die drei normierten R¨aume R²,k.k₁

, R²,k.k₂

und R²,k.k_∞ jeweils die MengeB₁(0).

c) Seix∈Rⁿ. Beweisen Sie:

kxk_p → kxk_∞ f¨urp→ ∞.

Aufgabe II.2 (6 Punkte)

Seien a, b∈Rmita < b und F={f|f : [a, b]→R}.

a) Sei k.k: F → [0,∞) definiert durch kfk = |f(a)|. Welche Eigenschaften eines normierten Raumes erf¨ullt bzw. verletzt (F,k.k)?

b) Beweisen Sie, dass der Raum X = {f ∈ F | f beschr¨ankt} versehen mit der Su- premumsnorm vollst¨andig ist.

c) Zeigen Sie, dass der Raum Y = {f ∈ F | f differenzierbar} versehen mit der Su- premumsnorm nicht vollst¨andig ist.

Hinweis: Betrachten Sie f¨ur n∈ N die Funktionenfolge f_n: [−1,1] → R definiert durch

fn(x) = (n

2x²+_2n¹ f¨ur|x| ≤ _n¹,

|x| f¨ur|x|> _n¹.

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Aufgabe II.3 (4 Punkte) Sei

`∞=`∞(R) ={(a_n)n∈N| ∀n∈N:an∈R und (an)n∈N beschr¨ankt}

der Vektorraum der reellen beschr¨ankten Folgen. Außerdem sei eine Abbildung k.k_∞:`∞→[0,∞) definiert durch

k(a_n)_nk_∞= sup

n∈N

|a_n|.

Beweisen Sie:

a) k.k∞ ist eine Norm auf`∞. b) (`∞,k.k_∞) ist vollst¨andig.

Aufgabe II.4 (4 Punkte)

Sei X eine beliebige Menge und F:X → R injektiv. Beweisen Sie, dass es sich bei der Abbildungd:X×X→Rdefiniert durch

d(x, y) =|F(x)−F(y)|

um eine Metrik aufX handelt. Welche Eigenschaft einer Metrik ist verletzt, fallsF nicht injektiv ist?

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