(4 Punkte) Sein∈N∗ und sei Ω⊂Rn eine konvexe Menge

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2012 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Funktionalanalysis¨ Blatt 5

Aufgabe 5.1. (4 Punkte)

Berechne jeweils die Operatornormen der folgenden Operatoren:

(i) E:L²(K)→L¹(K),f 7→f mit kompakter MengeK⊂Rⁿ, (ii) S:l¹→l²,x7→x,

Aufgabe 5.2. (4 Punkte)

Sein∈N^∗ und sei Ω⊂Rⁿ eine konvexe Menge. Wir bezeichnen mith·,·idas euklidische Skalarprodukt auf Rⁿ. Zeige, dass es zux0∈∂Ω einξ∈Rⁿ mit|ξ|= 1 gibt, so dass f¨ur allex∈Ω

hx−x₀, ξi ≥0 gilt.

Aufgabe 5.3. (4 Punkte)

Sei (H,h·,·i) ein reeller Skalarproduktraum. Zeige die folgenden Aussagen:

(i) Die induzierte Norm ist gleichm¨aßig Lipschitz-stetig. Gib die Lipschitz-Konstante an.

(ii) Das Skalarprodukt ist stetig.

(iii) Seienx, y∈H undx6= 0. Dann gilt kx+yk=kxk+kyk ⇔y=lx, l≥0.

(iv) Seien x, y∈H\ {0}mit x6=y und sei 0< t <1. Dann gilt ktx+ (1−t)yk² < tkxk²+ (1−t)kyk² d.h.k · k² ist strikt konvex.

Aufgabe 5.4. (4 Punkte)

SeiK=R. Seien 1< p, p⁰<∞mit ¹_p+_p¹0 = 1. Seiei := (δ_i^k)k∈N f¨uri∈N. Zeige, dass die Abbildung A: (l^p(N))^∗→l^p0(N), ϕ7→y= (yⁱ)_i∈N:= (heⁱ, ϕi)_i∈N

folgende Eigenschaften erf¨ullt:

(i) Aist linear.

(ii) Aist wohldefiniert, d. h. f¨urϕ∈(l^p(N))^∗istAϕ∈l^p0(N),

(iii) Aist normerhaltend, d. h. f¨urϕ∈(l^p(N))^∗ giltkϕk_(lp(N))^∗=kAϕk_lp0

(N). (iv) Aist bijektiv.

Aist also ein isometrischer Isomorphismus zwischen (l^p(N))^∗ undl^p0(N).

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen12.html#FA Abgabe:Bis Dienstag, 22.05.2012, 9.55 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.