(4 Punkte) Sei Ω ein Maßraum mit Maß µ

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2012 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Funktionalanalysis¨ Blatt 4

Aufgabe 4.1. (4 Punkte)

Sei Ω ein Maßraum mit Maß µ. Sei n ∈ N^∗ und seien 1 < p_i < ∞, 1 ≤ i ≤ n, mit

n

P

i=1 1

p_i = 1. Seien fi∈L^pi(Ω, µ), 1≤i≤n. Zeige, dass

Z

Ω

n

Y

i=1

f_i

dµ≤

n

Y

i=1

kf_ik_Lpi(Ω,µ)

gilt.

Aufgabe 4.2. (4 Punkte)

Sei Ω ein nicht-trivialer, beschr¨ankter Maßraum mit Maßµ, d. h. 0< µ(Ω)<∞. Wir definieren f¨ur 1≤p <∞

Ψp:L^p(Ω, µ)→R, f 7→

1 µ(Ω)

Z

Ω

|f(x)|^pdµ(x) ¹_p

.

Wir setzen Ψ_p auf den Raum der µ-meßbaren Funktionen fort, indem wir Φ_p(f) := ∞ f¨ur f 6∈ L^p(Ω, µ) setzen. Zeige die folgenden Aussagen:

(i) Sei f : Ω → R eine µ-meßbare Funktion. Die Funktion p 7→ Ψp(f) ist monoton nichtfallend. F¨ur 1≤p≤q <∞gilt alsoL^q(Ω, µ)⊂L^p(Ω, µ).

(ii) Seif ∈L^∞(Ω, µ). Dann gilt

kfk_L^∞_(Ω,µ)= lim

p→∞Ψp(f) = lim

p→∞kfk_Lp(Ω,µ). Aufgabe 4.3. (4 Punkte)

Wir sagen ein BanachraumX ist gleichm¨aßig konvex, falls f¨ur jedesε >0 einδ >0 existiert, so dass f¨ur alle x, y∈X mitkxk=kyk= 1 undk¹₂(x+y)k>1−δbereitskx−yk< εgilt.

(i) Zeige, dassL¹(R) undL^∞(R) nicht gleichm¨aßig konvex sind.

(ii) SeiH ein Hilbertraum. Zeige, dassH gleichm¨aßig konvex ist.

Hinweis: Benutze die Parallelogrammgleichung, d.h. f¨urx, y∈H gilt kx+yk²+kx−yk²= 2(kxk²+kyk²).

Aufgabe 4.4. (4 Punkte) Sei Ω ein Maßraum mit Maßµ.

a) Seiq≥1. Seiena, b∈Rmit 0≤a, b. Zeige, dass

a^q+b^q ≤(a+b)^q gilt.

b) Seip∈R, 2≤p <∞. Seienf, g∈L^p(Ω, µ). Zeige, dass

f+g 2

p

L^p(Ω,µ)

+

f −g 2

p

L^p(Ω,µ)

≤ 1

2kfk^p_Lp(Ω,µ)+1

2kgk^p_Lp(Ω,µ)

gilt.

Hinweis: Verwende Teilaufgabe a) und die Konvexit¨at der Funktionf :R+→R+,x7→x^p2 f¨ur p≥2.

Dies zeigt, dass auchL^p(Ω, µ) f¨ur p≥2 gleichm¨aßig konvex ist.

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen12.html#FA Abgabe:Bis Dienstag, 15.05.2012, 9.55 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.