[0,3)⊂Rund verseheX mit der vonRinduzierten Topologie

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2012 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Funktionalanalysis¨ Blatt 1

Aufgabe 1.1. (4 Punkte) SeiRmit der Standardtopologie versehen.

(i) SeiX := [0,3)⊂Rund verseheX mit der vonRinduzierten Topologie. Welche der folgenden Mengen sind inX offen, welche sind abgeschlossen?

[0,1) [0,1] [2,3) (2,3) [1,2) [0,3) (1,2) [1,2]

offen

abgeschlossen

(ii) SeiY := (0,1]⊂Rund verseheY mit der vonRinduzierten Topologie. Bestimme alle Teilmengen von Y, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Aufgabe 1.2. (4 Punkte +zus¨atzlich 2 Punkte)

SeiO1die Standardtopologie aufR,O2bestehe genau aus∅,Rund allen Intervallen der Form (−∞, a) mit a∈RundO3 bestehe genau aus∅,Rund allen Intervallen der Form (−∞, a] mita∈R. Sei B1={(a, b) : a < b, a, b∈Q}, seiB2:={(−∞, a) :a∈Q}und seiB3:={(−∞, a] :a∈Q}.

(i) ¨Uberpr¨ufe zun¨achst, welche der Oi Topologien auf Rsind. Sei A⊂ {1,2,3} die maximale Teilmenge, so dassOi f¨uri∈Aeine Topologie ist.

(ii) ¨Uberpr¨ufe f¨ur jedesBi,i∈A, ob es eine Basis der TopologieOi auf Rist.

(iii) Seieni, j∈A beliebig. ¨Uberpr¨ufe, ob Oi gr¨ober oder feiner ist alsOj.

(iv) Zusatz: Sei R mit der Standardtopologie versehen. Sei Q ⊂ R mit der von R induzierten Topologie versehen. Zeige, dassQdicht inRist.

Aufgabe 1.3. (4 Punkte)

Seien (X, d) und (Y, d⁰) metrische R¨aume undf :X →Y eine Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen

¨

aquivalent.

(i) ∀

x∈X ∀

ε>0 ∃

δ>0:a∈B_δ(x) =⇒f(a)∈B_ε(f(x)).

(ii) f⁻¹(B) ist offen f¨ur alle offenen MengenB⊂Y.

Aufgabe 1.4. (4 Punkte)

Seien (X, d) und (Y, d⁰) metrische R¨aume undf :X→Y eine Abbildung. ¨Uberpr¨ufe bei den folgenden Aus- sagen, welche ¨aquivalent zur Stetigkeit vonf ist (mit Beweis beziehungsweise Angabe eines Gegenbeispiels):

(i) f(A) ist offen f¨ur alle offenen MengenA⊂X.

(ii) f⁻¹(B) ist abgeschlossen f¨ur alle abgeschlossenen MengenB⊂Y. (iii) f(A) ist abgeschlossen f¨ur alle abgeschlossenen MengenA⊂X.

(iv) F¨ur alleε >0 gibt es einδ >0, so dass f¨ur x,y∈X mitd(x, y)< δ auchd⁰(f(x), f(y))< εfolgt.

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen12.html#FA Abgabe:Bis Dienstag, 24.04.2012, 9.55 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.