Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2012 Matthias Makowski
Ubungen zur Vorlesung Funktionalanalysis¨ Blatt 6
Aufgabe 6.1. (4 Punkte)
Sei (X,k · k) ein Banachraum und Y ⊂X ein abgeschlossener Unterraum. Wir sagen Y spaltet X, falls es einen abgeschlossenen UnterraumZ⊂X mitY ⊕Z =X und eine Konstantec >0 mit
1
ckx+yk ≤max(kxk,kyk)≤ckx+yk ∀(x, y)∈Y ×Z gibt. Zeige die folgenden Aussagen:
(i) SeiP ∈L(X) mitP2=P. Dann giltX =R(P)⊕N(P).
(ii) Y spaltet genau dannX, wenn es ein P ∈L(X) mitP2=P undR(P) =Y gibt.
(iii) Y spaltetX, falls dimY <∞.
Aufgabe 6.2. (4 Punkte)
SeiH =l2(N)⊕l2(N) mit Skalarprodukth(x, y),(a, b)i:=hx, ail2(N)+hy, bil2(N). Seien A:=
n2en, e0+n1en
:n∈N>0 und B:=
−n2en, e0+1nen
:n∈N>0 . Wir definieren Unterr¨aume vonH durchU :=hAiundV :=hBi.
(i) Zeige, dass U¯ =
X
n∈N>0
λn
n2en, e0+1 nen
:λn ∈Rf¨urn∈N>0mit X
n∈N>0
λnn22
<∞
gilt. Gib eine analoge Darstellung f¨ur ¯V an.
(ii) Zeige, dass ¯U+ ¯V =U+V ist.
(iii) Zeige, dass (0, e0)∈U+V ist.
(iv) Zeige, dass (0, e0)6∈U¯ + ¯V ist.
Folglich gibt es in unendlich dimensionalen Hilbertr¨aumenH abgeschlossene Unterr¨aumeX, Y mitX+Y 6=
X+Y.
Aufgabe 6.3. (4 Punkte)
Sei (H,h·,·i) ein Hilbertraum ¨uberR. Sei ϕ∈H∗. Wir definieren J :H → Rmittels x7→ hx, xi −2ϕ(x).
Zeige, dass es genau einx∈H gibt, so dass
J(x)≤J(y) ∀y ∈H gilt.
Aufgabe 6.4. (4 Punkte)
Sei B eine stetige Sesquilinearform auf einem Hilbertraum (H,h·,·i), d. h. B : H×H →C erf¨ullt f¨ur alle x, y, z∈H undα, β∈C
B(x, αy+βz) =αB(x, y) +βB(x, z) und
B(αx+βy, z) = ¯αB(x, z) + ¯βB(y, z).
Zeige, dass es eine eindeutige beschr¨ankte lineare AbbildungA:H →H gibt, so dassB(x, y) =hAx, yif¨ur allex, y∈H gilt. Zeige, dass kAk=kBk gilt.
Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen12.html#FA Abgabe:Bis Dienstag, 29.05.2012, 9.55 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.
