(4 Punkte) Es sei (X,k · kX) ein Banachraum und Y ⊂ X ein abgeschlossener Unterraum endlicher Dimension derart, dass f¨ur alle f ∈ X die beste Approximation E(f, Y, X) eindeutig ist

Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2019 der Philipps-Universit¨at Marburg

Prof. Dr. S. Dahlke, A. G¨orlich

Ubungen zur Approximationstheorie¨

– Blatt 8 –

Abgabe: Donnerstag, 04.07.2019, 12:00-12:15 Uhr in HS I

Aufgabe 8.1. (4 Punkte)

Es sei (X,k · k_X) ein Banachraum und Y ⊂ X ein abgeschlossener Unterraum endlicher Dimension derart, dass f¨ur alle f ∈ X die beste Approximation E(f, Y, X) eindeutig ist.

Zeige, dass der ,,Operator P der besten Approximation”

P :f 7→P f := argmin_g∈Ykf−gk_X

stetig ist, d.h. f¨ur jede Folge (f_k)k∈N⊂X mitf_k→f folgt P f_k→P f.

Aufgabe 8.2. (4 Punkte)

Beweise Bemerkung 4.2.4 der Vorlesung:

Ist H ein Hilbertraum mit Innenprodukth·,·i_H und H1 ⊂H ein abgeschlossener Unter- raum, so ist auch das orthogonale Komplement H₁^⊥ = {x ∈ H : hx, yi_H = 0 ∀y ∈ H₁} abgeschlossen.

Aufgabe 8.3. (4 Punkte)

Betrachte den RaumL2(R). Sei (Vj)_j>0 eine Folge von abgeschlossenen Unterr¨aumen mit Vj ⊂Vj+1 f¨ur alle j>0.

SeiP_j :L₂(R)→V_j die orthogonale Projektion. Zeige:

[

j>0

Vj L2(R)

=L2(R)⇐⇒ lim

j→∞||P_jf −f||_L2(R) = 0 f¨ur alle f ∈L2(R).