Sei f: X →Y eine stetige Abbildung topologischer Räume und x∈X

GRUNDLAGEN DER ANALYSIS, TOPOLOGIE UND GEOMETRIE (WWU 2016) 39

14. D^IE FUNDAMENTALGRUPPE UNDA^BBILDUNGEN In den vorigen Beispielen (3) und (4) benutzten wir implizit bereits:

Satz 14.1. Sei f: X →Y eine stetige Abbildung topologischer Räume und x∈X. Dann ist die Abbildung

f_∗: π1(X,x)→π1(Y,f(x)), [w]7→[f◦w]

ein Homomorphismus von Gruppen.

Beweis. Wohldefiniertheit: ausv∼H winX folgt f◦v∼f◦H f◦winY.

Verträglichkeit mit der Verknüpfung: für alle Wegev,winX mitv(1) =w(0)gilt(f◦

v)∗(f◦w) = f◦(v∗w).

Die Zuordnungen(X,x)7→π₁(X,x)und f 7→ f_∗sind “funktoriell” in folgendem Sinn:

Bemerkung 14.2. (1) SeienX−→^f Y −→^g Zstetige Abbildungen topologischer Räume undx∈X. Dann ist

(g◦f)_∗=g_∗◦f_∗: π₁(X,x)→π₁(Z,g(f(x))), [w]7→[g◦f◦w].

(2) Istid_X die Identität auf einem topologischen RaumX, so ist(id_X)_∗die Identität auf : π1(X,x)für jedesx∈X.

Eine wichtige Anwendung betrifft Selbstabbildungen vonDⁿ={x∈Rⁿ:kxk ≤1}: Theorem 14.3 (Fixpunktsatz von Brouwer). Jede stetige Abbildung f: Dⁿ→Dⁿ hat einen Fixpunkt.

Beweis für n=2. Angenommen, f: D² →D² hat keinen Fixpunkt. Für jedes x∈D² bezeichneg(x)den Schnittpunkt des Strahles von f(x)durchxmitS¹=∂D².

Dann istg: D²→S¹ stetig undg|S¹ =id_S1. Bezeichne j: S¹,→D²die Einbettung und seix= (1,0)∈S¹. Dann kommutiert

Z∼=π1(S¹,x) ^{id∗ //}

j_∗ ))

π1(S¹,x)∼=Z π1(D²,x). ^g∗

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DaD²konvex ist, istπ₁(D²,x)trivial. Also kann j_∗nicht injektiv undg_∗nicht surjektiv sein, ein Widerspruch.

40 PD DR. THOMAS TIMMERMANN

Konkreter: Nach Beispiel 13.8 (2) existiert ein WegwinS¹von 1 nach 1 mitw6∼ι1. Da D²konvex ist, finden wir inD²eine HomotopieH vonwzuι1. Dann ist aberg◦H eine Homotopie vonwnachι1, die ganz inS¹verläuft, ein Widerspruch.

Die Fundamentalgruppe und die induzierten Abbildungen ändern sich nicht, wenn man die Räume bzw. Abbildungen “stetig deformiert”:

Definition 14.4. Wir nennen stetige Abbildungen f,g: X →Y topologischer Räume

• homotop, falls es eine stetige Abbildung H: X×[0,1]→Y mit H₀:=H(−,0) = f und H₁:=H(−,1) =g gibt;

• homotop relativ zuA⊆X, falls zusätzlich f(a) =H(a,t) =g(a)für alle a∈A und t∈[0,1].

In dem Fall nennen wir H eine Homotopie von f nach g(relativ zu A)und schreiben f ∼g oder f ∼Hg relativ zu A.

Bemerkung 14.5. Achtung! Zwei Wegev,win einem RaumX sind

• frei homotop als Wege im Sinn von Definition 13.1 genau dann, wenn sie ho- motop als Abbildungen von[0,1]nachX in obigem Sinn sind;

• homotop als Wege im Sinn von Definition 13.1 genau dann, wenn sie homotop relativ zu{0,1}als Abbildungen von[0,1]nachX sind.

Wir werden für Wege die Sprechweise von Definition 13.1 beibehalten.

Wie für Wege sind Homotopie und relative Homotopie von Abbildungen Äquivalenzre- lationen.

Satz 14.6. Seien f,g: X →Y stetige Abbildungen und homotop relativ zu x∈X. Dann ist f(x) =g(x) =:y und

f_∗=g_∗: π₁(X,x)→π₁(Y,y).

Beweis. Ist f ∼H grelativ zux und [w]∈π1(X,x), so ist (f ◦w)∼K (g◦w)mit K_t =

H_t◦wfür allet∈[0,1].

Jeder Äquivalenzbegriff für Abbildungen führt in natürlicher Weise zu einem Äquiva- lenzbegriff für Räume:

Definition 14.7. Zwei topologischer Räume X,Y heißenhomotop, falls es stetige Ab- bildungen X^f

g Y gibt mit g◦f ∼id_X und f◦g∼id_Y. Sind x∈X und y∈Y , so nennen wir (X,x) homotop zu (Y,y), falls zusätzlich f(x) =y, g(y) =x und die Homotopien relativ zu x bzw. y gewählt werden können. In diesen Fällen schreiben wir X ∼Y bzw.

(X,x)∼(Y,y).

Bemerkung 14.8. Homotopie von Räumen ist eine Äquivalenzrelation (ÜA).

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Beispiel 14.9. SeiSⁿ={x∈Rⁿ⁺¹:kxk2=1}. Dann istRⁿ⁺¹\ {0} ∼Sⁿ, denn für die Abbildungen

f: Rⁿ⁺¹\ {0} →Sⁿ, x7→ x

kxk2, und g=id_Sⁿ: Sⁿ→Rⁿ⁺¹\ {0} gilt f◦g=idSⁿ undg◦ f ∼H idRn+1\{0}mit

H(x,t):= x kxk¹₂^−t.

Folgerung 14.10. Sind(X,x)und(Y,y)homotop, so giltπ1(X,x)∼=π1(Y,y).

Beweis. Sind f,g wie in der Definition, so sind f_∗ und g_∗ nach Satz 14.6 zueinander

inverse Isomorphismen.

Bemerkung 14.11. Es gilt sogar: sind X,Y homotop und wegzusammenhängend, so giltπ1(X,x)∼=π1(Y,y)für allex∈X,y∈Y; siehe Übung.