Numerische Mathematik 1 13. F¨ ur x ∈ (x k − 1 , x k ) sei

Technische Universit¨at Graz WS 2021/2022

Institut f¨ ur Angewandte Mathematik Blatt 5

Univ.–Prof. Dr. Olaf Steinbach 15.11.2021

Numerische Mathematik 1 13. F¨ ur x ∈ (x k − 1 , x k ) sei

Q h f (x) = 1 x k − x k − 1

Z ^x

x

f (x) dx

die (st¨ uckweise) konstante L ² –Projektion. Man beweise die Fehlerabsch¨atzungen Z x

x

[f (x) − Q h f (x)] ² dx ≤ 1

3 (x k − x k − 1 ) ² Z x

x

[f ^′ (x)] ² dx und, f¨ ur s ∈ (0, 1),

Z x

x

[f (x) − Q h f (x)] ² dx ≤ (x k − x k − 1 ) ^2s Z x

x

Z x

x

[f (x) − f(y)] ²

|x − y| ^1+2s dy dx .

14. Gegeben sei die Funktion f (x) = x ² , x ∈ [0, 1]. F¨ ur n ∈ IN und eine Schrittweite h = 1/n seien die St¨ utzstellen x k = kh, k = 0, . . . , n gegeben. Mit den st¨ uckweise konstanten Basisfunktionen

ψ k (x) =

( 1 f¨ ur x ∈ (x k − 1 , x k ),

0 sonst

f¨ ur k = 1, . . . , n bezeichnet

f h (x) =

n

X

k=1

a k ψ k (x)

eine st¨ uckweise konstante Funktion. Man bestimme die Zerlegungskoeffizienten bei Interpolation in den Elementmittelpunkten ˆ x k = ¹ ₂ (2k− 1)h f¨ ur k = 1, . . . , n und bei der L 2 –Projektion. Man berechne den jeweiligen Fehler

Z 1 0

[f (x) − f h (x)] ² dx in Abh¨angigkeit von h.

Hinweis:

n

X

k=1

k = 1

2 n(n + 1),

n

X

k=1

k ² = 1

6 n(n + 1)(2n + 1),

n

X

k=1

k ³ = 1

4 n ² (n + 1) ² ,

n

X

k=1

k ⁴ = 1

30 n(n + 1)(2n + 1)(3n ² + 3n − 1).

15. Durch Anwendung des Gram–Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens bestimme man Poly- nome {p k (x)} ³ _k=0 mit

Z 1

− 1

p k (x)p ℓ (x) dx = 0 f¨ ur k 6= ℓ, Z 1

− 1

[p k (x)] ² dx = 1 .