Prof. Dr. Uwe K¨ uchler Institut f¨ ur Mathematik
Statistik stochastischer Prozesse 6. ¨ Ubung, 11. 07. 2005
1. Es sei X = (X
1, X
2, · · · , X
n) eine mathematische Stichprobe aus einer auf [0, ϑ](ϑ > 0) gleichm¨ aßig verteilten Grundgesamtheit. Man gebe eine minimal suffiziente Statistik an, die vollst¨ andig ist.
2. Es sei X = (X
1, X
2, · · · , X
n) eine mathematische Stichprobe aus einer auf [ϑ −
12, ϑ +
12]-gleichm¨ aßig verteilten Grundgesamtheit. Zeigen Sie, dass mit M
n:= max(X
1, X
2, · · · , X
n) und m
n:= min(X
1, X
2, · · · , X
n)
die Verteilung der Zufallsgr¨ oße M
n−m
nnicht von ϑ abh¨ angt und dass (m
n, M
n) minimal suffizient aber nicht vollst¨ andig ist.
3. Angenommen, ¯ p := (p
i, i ∈ E) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf E = {1, 2, · · · , k}. Es sei X = (X
1, X
2, · · · , X
n) eine mathematische Stichprobe aus einer nach ¯ p verteilten Grundgesamtheit.
Man konstruiere eine Exponentialfamilie in der Menge aller ¯ p und gebe eine minimal suffiziente und vollst¨ andige Statistik f¨ ur sie an.
Man l¨ ose die gleiche Aufgabe, falls X = (X
0, X
1, · · · , X
n) eine Markovsche Kette mit der Anfangsverteilung ¯ p und der ¨ Ubergangsmatrix π = (π
ij)
i,j∈Ebildet. Gesucht ist also eine Exponentialfamilie von Wahrscheinlichkeitsver- teilungen auf E
n+1, so dass jede die Folge X zu einer Markovschen Kette mit einer Anfangsverteilung % und einer ¨ Ubergangsmatrix (p
ij) macht.
4. Es sei X = (X(t), t ≥ 0) ein zusammengesetzter Poissonprozess ¨ uber einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,
A, P ), d. h., es gelte
X(t) =
N(t)
X
k=1
