Prof. Dr. Uwe K¨uchler Institut f¨ur Mathematik
Statistik stochastischer Prozesse 2. ¨ Ubung, 07. 05. 2008
1. Die Folge X
ϑ= (X
n, n = 1, . . . , N ) sei definiert durch X
n= ϑX
n−1+ ε
n, n = 1, 2, . . . , N ,
X
0≡ 0, (ε
n) unabh¨angig, N (0, 1)-verteilte Folge.
Man berechne die Likelihoodfunktion L
X(ϑ, x) (x = (x
1, . . . , x
n)).
Was ergibt sich f¨ur die Likelihood-Sch¨atzung ˆ ϑ
n(X
1, . . . , X
n)?
Hinweis: Verwenden Sie die Beziehung
L
X(ϑ, x) = dP
ϑdP
0(x) = P (X
1∈ dx
1, . . . , X
n∈ dx
n) P (ε
1∈ dx
1, . . . , ε
N∈ dx
n) mit P
ε(dx) = P (X
ϑ∈ dx).
2. Es seien (P
n) und (Q
n), n ≥ 1 Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (Ω, A) mit Q
n¿ P
nund f
n:=
dQdPnn, weiterhin sei %
n:=
RΩ
f
n12dP
n, n ≥ 1. Man zeige, dass das Produktmaß Q =
∞Π
1
Q
nbez. dem Produktmaß P =
∞Π
1
P
nentweder absolutstetig oder singlu¨ar ist, je nachdem, ob % :=
∞Π
1
%
n> 0 oder = 0 gilt. (Dichotomietheorem) Hinweis: Man ¨uberzeuge sich zun¨achst von: % > 0 ⇒ g
n= Π
n1
