Untersuche die folgenden Funktionen auf absolute Integrierbarkeit nahex= 0: Γ , ∂x∂iΓ , ∂x∂i∂x2 jΓ , f ·Γ , f·∂x∂iΓ , f·∂x∂i∂x2 jΓ , g·Γ , g·∂x∂iΓ , g·∂x∂i∂x2 jΓ

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Wintersemester 2013/2014 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen II¨ Blatt 2

Aufgabe 2.1. (6 Punkte) Sei Γ :Rⁿ\ {0} →Rdurch

Γ(x) =

(−|x|²⁻ⁿ, n≥2, log|x|, n= 2,

definiert. Seienf, g∈C^α(Rⁿ) mitf(0) = 0,g(0) = 1 und 0< α <1.

Untersuche die folgenden Funktionen auf absolute Integrierbarkeit nahex= 0:

Γ , _∂x^∂iΓ , _∂x^∂i∂x^{2 j}Γ , f ·Γ , f·_∂x^∂iΓ , f·_∂x^∂i∂x^{2 j}Γ , g·Γ , g·_∂x^∂iΓ , g·_∂x^∂i∂x^{2 j}Γ . Aufgabe 2.2. (2 Punkte)

F¨uhre die Details zu ∆w=f im Beweis von Theorem 1.8 aus.

Aufgabe 2.3. (4 Punkte)

Erg¨anze die Details am Ende des Beweises des Theorems von Gauß.

Aufgabe 2.4. (Dimensionsunabh¨angige Normen) (4 Punkte)

(i) Pr¨azisiere die Aussage, dass sich die dimensionsunabh¨angigen Normen k · k⁰_Ck,α(Ω) unter Homothetien des Gebietes nicht ¨andern und beweise sie.

(ii) Seiu∈C^0,α Ω

,v∈C^0,β Ω

undγ= min{α, β}. Dann ist u·v∈C^0,γ Ω

und es gilt ku·vk⁰_C0,γ(Ω)≤ kuk⁰_C0,α(Ω)· kvk⁰_C0,β(Ω).

Abgabe:Bis Mittwoch, 06.11.2013, 15:15 Uhr, in der Vorlesung.