Aufgabe VII.2 (5 Punkte) Beweisen Sie das folgende Lemma: Lemma (Gronwall)

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen¨ Blatt VII vom 24. November 2011

(Abgabe bis Freitag, 2. Dezember, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors)

Aufgabe VII.1 (5 Punkte) Seien T >0 und A∈C² (0, T)

∩C [0, T]

nichtnegativ mitA(T) = 0 und (A⁰(t))²≤A(t)A⁰⁰(t) f¨ur 0< t < T .

Beweisen Sie A≡0.

Hinweis: Studieren Sie die Funktiont7→ln(A(t)).

Aufgabe VII.2 (5 Punkte) Beweisen Sie das folgende Lemma:

Lemma (Gronwall). Seien T >0 und v ∈ C [0, T]

nichtnegativ. Es gebe Konstanten a, b≥0 mit

v(t)≤a ˆ _t

0

v(s)ds+b f¨ur alle t∈[0, T].

Dann gilt f¨ur alle0≤t≤T

v(t)≤be^at ≤b(1 +ate^at).

Aufgabe VII.3 (5 Punkte)

Seien Ω ein beschr¨anktes Gebiet imR^dmit∂Ω∈C²,T >0 undQ_T = (0, T]×Ω. Zeigen Sie mit Hilfe des Lemmas aus Aufgabe VII.2, dass jede L¨osungu∈C Q_T

∩C^1,2 Q_T

des Problems 





∂_tu−∆u=f inQ_T u(0,·) =g auf Ω

u= 0 auf [0, T]×∂Ω f¨ur alle t∈(0, T] der folgenden Absch¨atzung gen¨ugt:

ku(t,·)k²_L2(Ω)+ 2k∇uk²_L2(Qt)≤e^t

kgk²_L2(Ω)+kfk²_L2(Qt)

.

Hinweis: Multiplizieren Sie zun¨achst die Differentialgleichung mit 2u(t, x) und integrie- ren Sie anschließend ¨uber Qt. Mit partieller Integration und Anwendung des Lemmas gelangt man dann zum gew¨unschten Resultat.

Aufgabe VII.4 (5 Punkte)

Seien B₁(0)⊂R^ddie offene Einheitskugel, α >0 und p∈[1,∞).

Definiere u:B₁(0)→R,

u(x) =

(|x|^−α, 0<|x|<1

0, x= 0.

F¨ur welche Werte von α hatueine schwache Ableitung in L^p(B₁(0))?