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Das Lemma von Zorn
PD Dr. Nils Rosehr 8. Juni 2011
Lemma von Zorn. Eine partiell geordnete Menge, in der jede Kette (d.h.
total geordnete Teilmenge)eine obere Schranke hat, besitzt ein maximales Ele- ment (d.h. ein Element zu dem es kein größeres gibt).
Beweis. Sei (M, <) eine partiell geordnete Menge. Wäre das Lemma falsch, so hätte jede Kette K sogar eine echte obere Schranke σ(K) (hier geht das Auswahlaxiom ein). Wir nennen eine KetteK eineσ-Kette, wennK wohlge- ordnet ist (d.h. jede nicht-leere Teilmenge von K hat ein Minimum) und für alle x∈Kgiltσ(Kx) =xfür das AnfangsstückKx:={y∈K:y < x}.
(∗) Fürσ-KettenK undLgiltK=LoderKx=LoderK=Lx
für einxausKbzw.L:
Seien die ersten beiden Aussagen falsch. Wir zeigen zunächst:
(∗∗) fürx∈K giltx∈LundKx=Lx:
Wir beweisen (∗∗) mit dem Prinzip der transfiniten Induktion: Wählex∈K minimal, so dass(∗∗)falsch ist. DannKx⊆L, daKx< x, also nach Annahme Kx ( L. Für z := minL\Kx gilt Kx < z, denn sonst gäbe es y ∈ Kx mit z < y; für y gilt (∗∗), also wäre y ∈ L und Ky = Ly 3 z, und somit z ∈ Kx, ein Widerspruch. Wegen der minimalen Wahl von z folgt Kx =Lz undx=σ(Kx) =σ(Lz) =z∈Lund somit(∗∗).
Jetzt folgt K ⊆ L aus (∗∗) und K ( L nach Annahme. Also folgt wörtlich (mit Kan Stelle vonKx) wie oben K=Lz. Das zeigt(∗).
Sei nun A die Vereinigung über alle σ-Ketten. SeiX ⊆A undx∈ X. Dann existiert eineσ-KetteKmitx∈K, undz:= minX∩Kist auch ein Minimum vonX, denn füry∈X und eineσ-KetteLmity∈Lfolgtx < yaus(∗). Also istAwohlgeordnet. Fürx∈A und eineσ-KetteK mitx∈K folgtAx=Kx
aus(∗). Also istAeineσ-Kette. Dann ist auchA∪ {σ(A)}eineσ-Kette, was im Widerspruch zuA∪ {σ(A)} ⊆A < σ(A)steht. 2
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Wohlordnungssatz. Auf jeder Menge existiert eine Wohlordnung, d.h. eine Ordnung in der jede nicht-leere Teilmenge ein Minimum hat.
Beweis. SeiM eine Menge und seiAdie Menge der TeilmengenAvonM, so dass aufAeine Wohlordnung<Aexistiert. Die MengeAist partiell geordnet:
es gelteA < B genau dann, wenn<A eine Einschränkung von<B ist und ein b ∈ B existiert mit A ={a ∈ B : a <B b}. Ist C eine Kette in A, so sieht man leicht, dass sich auch S
C wohlordnen lässt. Also gibt es in Anach dem Zornschen Lemma ein maximales Element A. Wäre A eine echte Teilmenge vonM, so könnte man zuAein Elementm∈M\Aals Maximum hinzufügen, im Widerspruch zur Maximalität von A. Also istM =A wohlgeordnet. 2
Das Auswahlaxiom folgt aus dem Wohlordnungssatz, denn ist A eine Menge nicht-leerer Mengen, so können wir die Vereinigungsmenge S
A wohlordnen undA →S
A, A7→minAist eine Auswahlfunktion. Wir haben also das Zorn- sche Lemma aus dem Auswahlaxiom, den Wohlordnungssatz aus dem Zorn- schen Lemma und schließlich das Auswahlaxiom aus dem Wohlordnungssatz abgeleitet. Alle drei Aussagen sind daher äquivalent.
Anwendung in der linearen Algebra.Wir zeigen mit dem Zornschen Lem- ma, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. SeiU die Menge aller linear un- abhängigen Teilmengen eines VektorraumsV zusammen mit der Mengeninklu- sion als partielle Ordnung, und seiK ⊆ U eine Kette. Dann ist auchS
K eine linear unabhängige Teilmenge, weil eine endliche Teilmenge vonSK schon in einem Element von K enthalten ist (eine Menge ist genau dann linear unab- hängig ist, wenn jede ihrer endlichen Teilmengen linear unabhängig ist). Also besitztU nach dem Zornschen Lemma ein maximales Element; eine maximale linear unabhängige Teilmenge ist aber ein Basis.
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