Endliche K¨ orper und Codierung

Endliche K¨ orper und Codierung

Ubung, LVA 405.351¨

C. Fuchs

6. ¨ Ubungsblatt

1. Sei K ein K¨orper mit Charakteristik pund n∈N teilerfremd zup. Zeige, dass Q_n(x) =Y

d|n

(x^d−1)^µ(n/d)=Y

d|n

(x^n/d−1)^µ(d).

2. Faktorisiere x²¹−1 ¨uber F2. Sie k¨onnen die Faktorisierung per Hand suchen oder sich ¨uber den Berlekamp-Algorithmus (zur Faktorisierung von Polynomen ¨uberZp) informieren (z.B. in A. Peth˝o, Algebraische Algorithmen, Vieweg, 1999) und diesen anwenden.

3. Zeige, dassx²+x+ 2∈F3[x] ein irreduzibler Teiler des 8-ten Kreisteilungspolynoms Q₈(x)∈F³[x] ist, und bestimme dann das Minimalpolynom von α² ¨uberF³, wobei α eine Nullstelle von x²+x+ 2 bezeichnet.

4. Sei α eine Nullstelle vonx⁵+x²+ 1∈F2[x]. Gib alle zyklotomischen Nebenklassen von 2 modulo 31 und dann das Minimalpolynom vonα,α⁴ und α⁵ an.