Endliche K¨ orper und Codierung

Endliche K¨ orper und Codierung

Ubung, LVA 405.351¨

C. Fuchs

9. ¨ Ubungsblatt

1. Finde eine Generatormatrix und Kontrollmatrix f¨ur die Linearcodes, die durch die folgenden Mengen erzeugt werden, und gib die Parameter [n, k, d] jedes Codes an:

a) q = 2, S ={1000,0110,0010,0001,1001},

b) q = 3, S ={110000,011000,001100,000110,000011},

c) q = 2, S ={10101010,11001100,11110000,01100110,00111100}.

2. Finde zu den folgenden bin¨aren Codes eine systematische Generatormatrix f¨ur den geeignet permutierten Code

G=









1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1









bzw. G=





1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0



.

Gib die verwendete Permutation explizit an.

3. F¨ur den Linearcode aus Aufgabe 2 vom 8. ¨Ubungsblatt berechne man zun¨achstC^⊥ und zeige dann, dass C^⊥ kein Komplement von C inF⁶2 ist.

4. Sei C ein bin¨arer [n, k]-Linearcode. Zeige, dass entweder jedes Codewort gerades Gewicht hat oder dass die Codew¨orter mit geradem Gewicht einen Unterraum C⁰ von C der Dimension k−1 bilden (C⁰ ist somit ein bin¨arer [n, k−1]-Linearcode).

Bestimme im zweiten Fall mit Hilfe vonC^⊥ den zuC⁰ dualen Code.