Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zur Analysis I¨ Blatt VII vom 26. November 2009
(Abgabe bis Donnerstag, 03.12., 10 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors)
Aufgabe VII.1 (5 Punkte)
Berechnen Sie alle L¨osungen z∈Cder folgenden Gleichung z2+iz−1−i= 0.
Vereinfachen Sie Ihre Ergebnisse so weit wie m¨oglich, d.h. berechnen Sie die auftretenden Wurzeln explizit.
Aufgabe VII.2 (5 Punkte)
Beim Anwenden des Wurzelkriteriums bzw. beim Berechnen des Konvergenzradius von Reihen verwendet man h¨aufig die Tatsache
n→∞lim
√n
n= 1. Beweisen Sie diese Aussage.
Hinweis: Zeigen Sie, dass die durchan= √n
n−1 definierte Folge gegen Null konvergiert, indem Sie den Ausdruck (1 +an)n geeignet absch¨atzen.
Aufgabe VII.3 (5 Punkte)
Geben Sie die Menge aller x∈Ran, f¨ur welche die Reihe X∞
k=0
3k+ (−2)k
k (x+ 1)k konvergiert.
Aufgabe VII.4 (5 Punkte)
(a) Beweisen Sie in allen Details die in der Vorlesung erl¨auterte Behauptung, dass die Potenzreihe
X∞ k=0
k!zk
nur f¨urz= 0 konvergiert.
(b) Sei (an) eine monoton fallende Nullfolge. Zeigen Sie, dass die Potenzreihe X∞
k=0
akzk
f¨urz∈C,|z| ≤1, z 6= 1 konvergiert.
Hinweis: Verwenden Sie im Fall |z|= 1 die Definition der Konvergenz von Reihen (d.h., dass die Partialsummen eine Cauchy-Folge bilden).
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