Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zur Analysis I¨ Blatt VIII vom 02. Dezember 2009
(Abgabe bis Donnerstag, 10.12., 10 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors)
Aufgabe VIII.1 (5 Punkte) Seien a∈(0,1) und I = (a,1).
(a) Beweisen Sie, dass die Funktionf :I →R,f(x) =x−2, gleichm¨aßig stetig ist.
(b) Ist die Funktion f : (0,1)→R,f(x) =x−2, ebenfalls gleichm¨aßig stetig ?
Aufgabe VIII.2 (5 Punkte) (a) Beweisen Sie, dass die durch
f(x) =
(e−x21 , x6= 0, 0 , x= 0, gegebene Funktionf :R→Rstetig ist.
(b) Gibt es eine reelle Zahladerart, dass die durch
f(x) = ( 1
1+e1/x , x6= 0,
a , x= 0,
gegebene Funktionf :R→Rstetig ist ? Beweisen Sie Ihre Behauptung.
Aufgabe VIII.3 (5 Punkte)
Ein Funktion f :I → R,I ⊂ R, heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine Konstante L > 0 gibt derart, dass f¨ur allex, y∈I gilt|f(x)−f(y)| ≤L|x−y|.
(a) Beweisen Sie, dass jede Lipschitz-stetige Funktion gleichm¨aßig stetig ist.
(b) Beweisen Sie, dass die Funktionf : [0,1]→R,f(x) =√x, gleichm¨aßig stetig aber nicht Lipschitz-stetig ist.
Aufgabe VIII.4 (5 Punkte)
Seif : [a, b]→Rmonoton wachsend1. Beweisen Sie, dass die Menge {x∈[a, b] :f ist nicht stetig in x}
leer, endlich oder abz¨ahlbar unendlich2 ist.
1Zur Erinnerung:f:I→Rheißt monoton wachsend, wenn∀x, y∈I: (x≤y)⇒(f(x)≤f(y)).
2Zur Erinnerung: Eine MengeMheißt abz¨ahlbar unendlich, wenn es eine Bijektion vonNnachMgibt.
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