Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld
Präsenzaufgaben zur Analysis I Blatt III vom 30.10.2009
Aufgabe III.1 (Folgen inQ)
Untersuchen Sie die Folgen (an)n∈N auf folgende Eigenschaften und beweisen Sie Ihre Behauptung:
• Beschränktheit
• Cauchy-Folge
• Konvergenz/Divergenz a) an= 9−n32 für n∈N b) an= (−1)n·n2 fürn∈N
c) an= sin((2n+ 1)π2) für n∈N
Aufgabe III.2 (Konvergenz von Folgen in Q)
Zeigen Sie, dass die Folgen(an)n∈N,(bn)n∈Nbzw.(cn)n∈NinQkonvergieren und bestim- men Sie den jeweiligen Grenzwert:
a) an= n+12n für n∈N b) bn= 3n7n2−2 für n∈N
c) cn= 1−1+nn22 fürn∈N
Aufgabe III.3 (Bestimmung von Wurzeln durch Intervallschachtelung)
Ziel ist es, den Zahlenwert von x = 213 anzunähern, ohne auf technische Hilfsmittel zurückzugreifen.
a) Definieren Sie Zahlen an, bn ∈ Q für n ∈ {1,2,3,4} rekursiv mit den folgenden Eigenschaften:
a1 ≤x≤b1,
(an+1 = an+b2 n, bn+1=bn , falls (an+b2 n)3 <2 bn+1= an+b2 n, an+1=an , falls (an+b2 n)3 ≥2.
Auf diese Weise wirdxdurch immer kleinere Intervalle „eingeschachtelt“. Benutzen Sie(213)3= 2, um ein geeignetes Anfangsintervall[a1, b1]anzugeben.
b) Notieren Sie die Größen bn−an für n∈ {1,2,3,4} und vergleichen Sie schließlich den tatsächlichen Zahlenwert vonx(unter Verwendung eines Taschenrechners) mit a4 und b4.
1
c) Definieren Sie nun Zahlen cn∈Qwie folgt
c1 =b1, cn+1=cn−(cn)3−2
3(cn)2 fürn∈ {1,2,3}. Vergleichen Siean, bn, cnfür n∈ {2,3,4}.
Das erste Verfahren wird Intervallschachtelung genannt und ist sowohl theoretisch als auch praktisch von großer Bedeutung in R. Man kann zeigen, dass es genau eine reelle Zahl (nämlich 213) gibt, welche in allen Intervallen [an, bn], n ∈ N, liegt. Das zweite Verfahren werden wir im Rahmen der Vorlesung genauer untersuchen.
2
