Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zur Analysis I¨ Blatt XIII vom 20. Januar 2010

(Abgabe bis Donnerstag, 28. Januar, 10 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors)

Aufgabe XIII.1 (10 Punkte)

Seien I ⊂^R, f¨urn∈^N fn:I →^R,fn(x) =xⁿ und f :I →^R, definiert durch f(x) = lim

n→∞

f_n(x).

a) Diskutieren Sie in den beiden folgenden F¨allen, ob die Funktionenfolge (fn) gleichm¨aßig gegenf konvergiert. Beweisen Sie Ihre Aussagen.

(i) I = [0,1], (ii) I = [0,1).

b) SeiI = (0,1).

(i) Untersuchen Sie, ob die Funktionenreihe P∞ k=1

f_k punktweise konvergiert, d.h.

f¨ur jedesx∈I P∞ k=1

f_k(x) konvergiert.

(ii) Untersuchen Sie, ob die Funktionenreihe P∞ k=1

f_k gleichm¨aßig konvergiert, d.h.

die Funktionenfolge (s_n) mit s_n(x) = Pⁿ

k=1

f_k(x) gleichm¨aßig konvergiert.

Aufgabe XIII.2 (5 Punkte) Beweisen Sie den folgenden Satz.

Satz: Seien I ⊂ ^R und f¨ur n ∈ ^N fn : I → ^R beschr¨ankt. Die Funktionenfolge (f_n) ist gleichm¨aßig konvergent genau dann, wenn (f_n) eine Cauchy-Folge bez¨uglich der Supremumsnorm ist, d.h. wenn zu jedem ε > 0 ein n₀ ∈ ^N existiert derart, dass kfn−fmk^∞≤ε f¨urn, m≥n₀.

Aufgabe XIII.3 (5 Punkte)

Seien [a, b]⊂^R\^Nund f¨urn∈^Nfn : [a, b]→^R,fn(x) = _n(x¹_−n). Zeigen Sie, dass die Funktionenreihe

P∞ k=1

f_k normal konvergiert, d.h.

P∞ k=1

kfkk^∞konvergiert.

1

Aufgabe XIII.4 (10 Punkte)

Seien b > 0, I = [0, b], f : I → ^R und f¨ur n ∈ ^N ϕⁿ : I → ^R eine Treppenfunktion.

Berechnen¹ Sie in den angegebenen F¨allen den Grenzwert

nlim→∞

Zb

0

ϕⁿ(x)dx= lim

n→∞

Xn i=1

ϕⁿ_i ·(xⁿ_i −xⁿ_i−1).

F¨urn∈^N und i∈ {0,1,2, . . . , n}soll hierbei gelten 0 =xⁿ₀ < xⁿ₁ < xⁿ₂ < . . . < xⁿ_n=b.

(ϕⁿ)_nist eine Folge von Treppenfunktionen, wobei jede einzelne Treppenfunktionϕⁿauf (xⁿ_i−1, xⁿ_i) konstant ist mit Funktionswertϕⁿ_i. Der Wert vonϕⁿ an den Stellenxⁿ_i spielt keine Rolle.

Wir betrachten hier in allen F¨allen

”Treppenstufen“ beixⁿ_i =i_n^b f¨uri∈ {0,1,2, . . . , n}.

Die Funktionf und die

”Stufenh¨ohen“ ϕⁿ_i sind wie folgt definiert:

a) f(x) =xund ϕⁿ_i = ^f(x

n

i−1)+f(xⁿi)

2 .

b) f(x) =x² und ϕⁿ_i =f(xⁿ_i−1).

c) f(x) =x² und ϕⁿ_i =f(xⁿ_i).

d) f(x) =x³ und ϕⁿ_i =f(xⁿ_i−1).

Hinweis: Das Bearbeiten dieser Aufgabe kostet viel Zeit. Versuchen Sie dennoch so viele Teile wie m¨oglich zu bearbeiten, da der Lerneffekt hoch ist. Am besten veranschaulichen Sie sich die Treppenfunktionen in einer Skizze.ϕⁿ_i bezeichnet die Stufenh¨ohe der i−ten Stufe dern−ten Treppenfunktion.

1 Das Ergebnis muss

b

R

0

f(x)dxsein, wie in der Vorlesung gezeigt wird. Somit k¨onnen Sie Ihr Ergebnis

¨uberpr¨ufen.

2