Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld
Pr¨asenzaufgaben zur Analysis I Blatt VII vom 25.11.2009
Aufgabe VII.1
Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt1 von P∞
n=0 (−1)n
√n+1 mit sich selbst eine divergente Reihe definiert.
Hinweis: Verwenden und beweisen Sie in diesem Zusammenhang, dass f¨ur alle a, b≥ 0 die folgende Ungleichung gilt:
√ab≤ 1
2(a+b).
Aufgabe VII.2
Bestimmen Sie die Konvergenzradien̺der folgenden Potenzreihen und geben Sie explizit alle Punkte an, f¨ur welche die Reihen konvergieren.
a) X∞ n=1
1
n(2x)n, x∈R b)
X∞ n=1
(z−2)n
n2 , z∈C
Hinweis: Sie k¨onnen verwenden, dass limn→∞nn1 = 1 ist (vgl. ¨Ubungsblatt VII).
Aufgabe VII.3
Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften der Exponentialreihe ez = P∞
n=0 zn
n!, z ∈ C unter Verwendung der Funktionalgleichung (vgl. Vorlesung)
∀z1, z2∈C: ez1+z2 =ez1ez2. a) F¨ur allez∈Cgilt: ez 6= 0.
F¨ur allex∈Rgilt sogar: ex >0.
b) F¨ur allez∈Cgilt: e−z = 1
ez.
c) F¨ur allex, y∈Rmitx < y gilt: ex < ey.
1Das Cauchy-Produkt der beiden ReihenP∞
j=0ajundP∞
k=0bk ist wie in der Vorlesung definiert als
∞
X
n=0 n
X
j=0
ajbn−j.
1
