Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld
Präsenzaufgaben zur Analysis I Blatt II vom 23.10.2009
Aufgabe II.1 (Körperaxiome)
SeiKein Körper unda, b∈K. Weisen Sie die folgenden Rechenregeln inKausschließlich mit Hilfe der aus der Vorlesung bekannten Körperaxiome nach.
a) Für jedes aausK gilt: 0·a= 0. Hierbei ist 0das neutrale Element der Addition.
b) −(−a) =a
c) (−a)b=−(ab) =a(−b)
Aufgabe II.2 (Dreielementiger Körper)
SeiF ={0,1, a}eine dreielementige Menge. Zeigen Sie, dass es höchstens eine Möglich- keit gibt, aufF die Struktur eines Körpers zu erklären, so dass 0 das neutrale Element der Addition und 1 das neutrale Element der Multiplikation ist. Stellen Sie dazu die entsprechende Additions- bzw. Multiplikationstabelle auf.
Aufgabe II.3 (Ringe)
Sei für (R,+,·) alle Eigenschaften eines Rings mit Ausnahme der Kommutativität der Addition erfüllt. Es gebe des Weiteren ein Einselement, d.h.
∃1∈R: (∀a∈R: 1·a=a·1).
Zeigen Sie, dass hieraus die Kommutativität der Addition folgt.
(Hinweis: Weisen Sie zunächst die Identitäta+a+b+b=a+b+a+b nach. Hieraus lässt sich leicht die Behauptung folgern.)
Aufgabe II.4 (Cauchy-Folgen inQ) Fürn∈Nseien an= n−12n und bn= 1+nn .
Zeigen Sie, dass die Folgen (an)n∈Nund (bn)n∈N Cauchy-Folgen inQsind.
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