Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zur Analysis I Blatt III vom 30.10.2009
(Abgabe bis Freitag, 06.11., 12 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors)
Aufgabe III.1 (4 Punkte)
Untersuchen Sie die Folgen(an)inQauf Konvergenz bzw. Divergenz. Beweisen Sie Ihre Behauptungen.
a) an= 2n(2n+2+7)n32+5 für n∈N, b) an= (−(2)−n+12)n+3+3nn+1 fürn∈N,
c) an=n((−1)n) für n∈N. Aufgabe III.2 (4 Punkte)
InQ sei eine Folge (an) wie folgt definiert:
a0= 0, a1 = 1, an+1 = 23an+ 13an−1 für n∈N. a) Zeigen Sie, dass (an) eine Cauchy-Folge inQ ist.
b) Zeichnen Sie die Werte a0, a1, . . . , a6 in einen Zahlenstrahl ein und überlegen Sie, ob(an) konvergiert.
c) Beweisen Sie nun, dass(an) konvergiert und geben Sie den Grenzwert an. Es bietet sich an, zunächst die durchbn=an−an−1 gegebene Folge(bn) zu studieren.
Aufgabe III.3 (4 Punkte)
Seien K ein geordneter Körper, C der Ring der Cauchy-Folgen und N die Menge der Nullfolgen (vgl. Vorlesung). Zeigen Sie, dass Nein echtes Ideal inC ist, d.h. N(Cmit
∀a, b∈N:a−b∈N, ∀a∈N∀b∈C:ab∈N.
Aufgabe III.4 (4 Punkte)
SeienK ein geordneter Körper,a∈K, a >−1, a6= 0,n∈N, n≥2. Dann gilt (1 +a)n>(1 +na).
Beweisen Sie diese Aussage mittels vollständiger Induktion.
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Aufgabe III.5 (4 Punkte) Es seien die durch
an= 1 + 1 n
n
, bn= 1 + 1 n
n+1
für n∈N definierten Folgen betrachtet. Beweisen Sie:
a) (an) wächst streng monoton, b) (bn)fällt streng monoton,
c) lim
n→∞
(bn−an) = 0.
Hinweise:
(1) Eine Folge(an)heißt streng monoton wachsend, wenn∀n∈N:an+1> an. Dement- sprechend heißt eine Folge(an) streng monoton fallend, wenn∀n∈N:an+1 < an. (2) Die Ungleichung(1 +a)n>(1 +na) füra≥ −1,n≥2, aus der vorherigen Aufgabe können Sie hierbei verwenden, aus der z.B. für n≥2 folgt:
1− 1 n2
n
≥1− 1
n ⇔ 1 + 1
n n
1− 1 n
n
≥1− 1 n.
Die folgenden Aufgaben fließen nicht in die Bewertung ein.
Aufgabe III.6 (0 Punkte)
Seiena, b, q∈Qmit q ∈(0,1). In Q sei eine Folge(an) wie folgt definiert:
a0=a, a1 =b, an+1 =qan+ (1−q)an−1 für n∈N. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (an).
Aufgabe III.7 (0 Punkte)
Eine Million ist eine Eins mit sechs Nullen. Eine Billiarde ist eine Eins mit 15 Nullen.
Wie viele Nullen hat eine Zentillion ?
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