Aufgabe II.2 (5 Punkte) Sei m ∈ N

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld

Übungsaufgaben zur Analysis I Blatt II vom 23.10.2009

(Abgabe bis Freitag, 30.10., 12 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors)

Aufgabe II.1 (5 Punkte)

SeienK ein geordneter Körper unda, b∈K. Zeigen Sie

|a+b| ≤ |a|+|b| (Dreiecksungleichung) , |a| − |b|

≤ |a−b|. Aufgabe II.2 (5 Punkte)

Sei m ∈ ^N. Die zyklische Gruppe ^Z/m^Z mit ^Z/m^Z = {[0],[1],[2],[3],[4], . . . ,[m−1]}

sei wie in der Vorlesung definiert.

(a) Definieren Sie auf^Z/m^Zeine Multiplikation derart, dass^Z/m^Zzu einem Ring wird.

(b) Zeigen Sie, dass^Z/m^Zein nullteilerfreier Ring ist genau dann, wennmeine Primzahl ist.

(c) Ist^Z/m^Zauch ein Körper, wennm eine Primzahl ist ?

Aufgabe II.3 (5 Punkte)

Nehmen wir einmal an, wir hätten bereits den Körper der reellen Zahlen ^R eingeführt.

Sei nun^R×^R={(x, y)|x, y∈^R}versehen mit einer Addition und einer Multiplikation der folgenden Art:

(x, y) + (x^′, y^′) = (x+x^′, y+y^′), (x, y)·(x^′, y^′) = (xx^′−yy^′, xy^′+x^′y).

Zeigen Sie, dass^R×^Rhierdurch zu einem Körper wird. Geben Sie die beiden neutralen Elemente und die jeweiligen Inversen an.

Aufgabe II.4 (5 Punkte)

Es sei eine Folge (aⁿ)ⁿ∈N von rationalen Zahlen wie folgt definiert : a0 = 1, aⁿ= 1 + 1

1 +aⁿ−1

fürn∈^N.

Beweisen Sie, dass(an)n∈N eine Cauchy-Folge ist.

Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass für n∈^N gilt

|an+1−an|< ¹₂|an−an−1|. Zeigen Sie dann mittels vollständiger Induktion

|an+1−aⁿ|<2⁻ⁿ⁻¹.

Schließlich können Sie dann noch Aufgabe I.2.a) der Präsenzübungen verwenden.

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