Aufgabe 1: 5 Punkte

Prof. Lars Diening, Sebastian Schwarzacher, Franz Gmeineder, Hans Irl 19.6.2011

Numerik II — Blatt 10

Aufgabe 1: 5 Punkte

Sei G ⊂ R ⁿ ein beschränktes Gebiet und u ∈ W ₀ ^1,2 (G) eine schwache Lösung von −∆u ≤ 0, d.h.

ˆ

G

∇u · ∇ϕ dx ≤ 0

für alle ϕ ∈ W ₀ ^1,2 (G) mit ϕ ≥ 0. Zeigen Sie, dass u ≤ 0 fast überall in G.

Tipp: Benutzen Sie ϕ = u ⁺ := u χ _{u>0} ∈ W ₀ ^1,2 (G).

Aufgabe 2: 5 Punkte

Sei T ein Simplex in R ⁿ mit baryzentrischen Koordinaten λ 0 (x), . . . , λ n (x).

Zeigen Sie, dass für α ∈ N ⁿ⁺¹ 0 gilt:

ˆ

T

λ ^α (x) dx = α!n!

(|α| + n)! |T |.

Hierbei ist λ ^α := λ ^α ₀

· · · λ ^α _n

und α! = α ₀ ! · · · α _n !. Tipp, Zeigen Sie zunächst, dass für p, q ∈ N ˆ 1

0

(1 − y) ^p y ^q dy = p!q!

(p + q + 1)! .

Aufgabe 3: 5 Punkte

Es sei B ein Ball im R ⁿ und f ∈ L ^p (B). Zeigen Sie, dass

− ˆ

B

|f − hf i B | ^p dx ≤ 2 ^p inf

a∈ R

− ˆ

B

|f − a| ^p dx,

wobei

hf i B = − ˆ

B

f dx = |B| ⁻¹ ˆ

B

f dx.

Aufgabe 4: 5 Punkte

Es sei f ∈ D ⁰ ( R ⁿ ), d.h. im Dualraum von C ₀ ^∞ ( R ⁿ ). Dann ist hψ ∗ f , ϕi := hf, ψ ∗ ϕi für alle ϕ, ψ ∈ C ₀ ^∞ ( R ⁿ ),

wobei ψ(x) := ψ(−x). Zeigen Sie, dass δ 0 ein Einselement ist; genauer, zeigen

Sie hψ ∗ δ 0 , ϕi = hψ, ϕi für alle ϕ, ψ ∈ C ₀ ^∞ ( R ⁿ ).