Aufgabe 1 (Der Nikolaus) 5 Punkte

Dr. Ronald St ¨over WiSe 2008/2009 Zentrum f ¨ur Technomathematik

Universit ¨at Bremen

Numerische Mathematik 2

Ubung Nr. 6 ¨

Aufgabe 1 (Der Nikolaus) 5 Punkte

Der Nikolaus m ¨ochte Geschenke ausliefern und muss dazu durch den Schornstein in Ihr Wohn- zimmer gelangen. Um nicht auf das Dach klettern zu m ¨ussen, l ¨asst er sich mit einer Kanone direkt durch den Schornstein katapultieren. Wir nehmen an, dass der Luftwiderstand des Niko- laus proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit ist, sodass seine Flugbahn durch diese Geschossbahn beschrieben wird:

F ¨ur x > ˙ 0 gilt

¨

x = − r m x ˙ p

˙ x ² + ˙ y ²

¨

y = −g − r m y ˙ p

˙

x ² + ˙ y ² ,

wobei g = 9.81 ^m _s

und r = 20 ^kg _m ist und der Nikolaus m = 80 kg wiegt.

a) Bestimmen Sie n ¨aherungsweise den Anstellwinkel f ¨ur das Kanonenrohr und die Start- geschwindigkeit, mit der der Nikolaus aus dem Kanonenrohr katapultiert wird, damit er genau durch den Schornstein fliegt, der sich 10 m vor und 5 m ¨uber ihm befindet.

b) Was passiert, wenn der Nikolaus mit den gleichen Einstellungen an der Kanone 10 kg Geschenke bei sich tr ¨agt?

Aufgabe 2 (Eigenschaften nichtnegativer Matrizen) 5 Punkte Eine Matrix A ∈ R ^n×n heißt nichtnegativ, falls alle Eintr ¨age a _ij ≥ 0 sind. Die Menge

σ(A) := {λ ∈ C

λ Eigenwert von A}

heißt das Spektrum von A und

ρ(A) := max{|λ|

λ ∈ σ(A)}

bezeichnet den Spektralradius.

Beweisen Sie folgende Eigenschaften:

a) ρ(A) < 1 ⇒ ∃ Matrixnorm k · k : kAk < 1

Hinweis: Benutzen Sie, dass f ¨ur alle ε > 0 eine Jordan-Faktorisierung A = U ⁻¹ J U existiert, wobei

J =









 J ₁

. . . . . .

J _r











, J _k =











λ _k ε . . . ...

. . . ε λ _k











und U invertierbar .

b) 0 ≤ S ≤ T , ρ(T ) < 1 ⇒ ρ(S) < 1 , 0 ≤ (I − S) ⁻¹ ≤ (I − T ) ⁻¹ c) A invertierbar mit A ⁻¹ ≥ 0 , w ∈ R ^{n mit} Aw ≥ e , e := (1, . . . , 1) ^T

⇒ kA ⁻¹ k ∞ ≤ kwk ∞

Zusatzinformation: F ¨ur nichtnegative Matrizen ist ρ(A) ein Eigenwert (“Satz von Perron”).

Aufgabe 3 (Eigenwerte spezieller Matrizen) 5 Punkte

a) Beweisen Sie den Satz von Gershgorin: F ¨ur M = (m _ij ) ∈ R ^{n×n ist}

σ(M ) ⊂

n

[

i=1

( ζ ∈ C

|ζ − m _ii | ≤ X

j6=i

|m _ij | )

b) Zeigen Sie: A =















2 −1

−1 2 −1 . . . ... ...

−1 2 −1

−1 2















∈ R ^n×n ⇒ σ(A) ⊂ [0, 4]

c) Zeigen Sie induktiv: det A = n + 1 , und folgern Sie daraus: σ(A) ⊂ (0, 4] .

d) Zeigen Sie, dass A − 4I invertierbar ist, z.B. indem Sie eine geeignete Diagonalmatrix D angeben, mit der A − 4I = −DAD ⁻¹ ist. Damit gilt dann σ(A) ⊂ (0, 4) .

Zusatzinformation: Die Eigenwerte von A sind λ j = 2 − 2 cos jπ

n+1

, j = 1, . . . , n .

Abgabe bis: 01. Dezember 2008 10.00 Uhr

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