Aufgabe 2: 5 Punkte Seif ∈L∞(Ω)

Prof. Diening, Schwarzacher, Gmeineder, Irl 05.06.2012

Fortgeschrittene numerische Mathematik — Blatt 8 Abgabe: Mittwoch, den 13. Juni vor der Vorlesung

Aufgabe 1: 5 Punkte

Sei Ω⊂Rⁿ ein Gebiet. Zeigen Sie, dass f¨ur allef ∈L^∞(Ω) gilt:

(a) kfk∞= sup_g∈L1(Ω) :kgk1≤1

Rf g dx.

Diese Aussage ist insofern erstaunlich, da (L^∞)^∗6=L¹. (b) kfk_∞= sup_g∈C∞

0 (Ω) :kgk₁≤1

R f g dx.

Aufgabe 2: 5 Punkte

Seif ∈L^∞(Ω). Zeigen Sie, dass es eine Folgefn∈C₀^∞(Ω) gibt mit (a) fn→f fast ¨uberall

(b) kfnk∞→ kfk∞. Tipp: Nutzen Sie Gl¨attung.

Achtung: Es gilt nicht f_n→f in L^∞(Ω), da sonstf stetig w¨are.

Aufgabe 3: 5 Punkte

Sei B ein Ball und u ∈ W^1,∞(B). Konstruieren wie in Lemma 5.38 in der Vorlesung durch Streckung und Gl¨attung, dass esun∈W^1,∞(B) gibt mit

(a) un∈C^∞(B),

(b) un→ufast ¨uberall inB,

(c) ∂jun →∂jufast ¨uberall inB f¨urj= 1, . . . , n, (d) kunk_∞→ kuk_∞,

(e) k∂ju_nk_∞→ k∂juk_∞ f¨urj = 1, . . . , n.

Tipp: Nutzen Sie die Ideen aus Aufgabe 2.

Aufgabe 4: 5 Punkte

SeiB ein Ball. Zeigen Sie f¨ur alleu∈W^1,∞(B), dass ku−(u)Bk_∞≤cdiam(B)k∇uk_∞. Tipp: Nutzen Sie Aufgabe 3.