Aufgabe 11.1 (8 Punkte)

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2019

Algebra – Blatt 11

Abgabe der L¨ osungen bis zum 17.06.2019, 10:30 Uhr in den daf¨ ur vorgesehenen K¨ asten Bitte geben Sie L¨ osungen zu den ersten beiden Aufgaben ab; weitere Informationen auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Algebra_SS19/.

Aufgabe 11.1 (8 Punkte)

(a) Seien α, β > C algebraisch ¨ uber Q mit Minpol _Q ˆ α  X ² 2 und Minpol _Q ˆ ⠍ X ² 4X 2. Zeigen Sie, daß die K¨ orper Qˆ α  und Qˆ ⠍ isomorph zueinander sind.

(b) Bestimmen Sie, welche der untenstehenden Polynome f > K X uber dem angegebenem ¨ K¨ orper K als Minimalpolynom Minpol _K ˆ α  eines Elements α > L eines Erweiterungsk¨ orpers L von K auftreten:

(i) f X ² 4, K Q , (ii) f X ² 1, K Z~ 7 Z , (iii) f X ² 1, K Z~ 17 Z . (c) Bestimmen Sie die Minimalpolynome der folgenden komplexen Zahlen ¨ uber dem jeweils angegebenen K¨ orper:

(i) 1 i ¨ uber Q , (ii) 3 º

7 ¨ uber R , (iii) ˆ 1 º

5 ~2 ¨ uber Q , (iv) e ^{2πi ~ 5} ¨ uber Q , (v) e ^{2πi ~ 5} uber ¨ Qˆ º

5  .

(d) Sei L S K eine endliche K¨ orpererweiterung, und sei f > K X irreduzibel und grad ˆ f  A 1.

Zeigen Sie: Gilt grad ˆ f  Ñ L K , so besitzt f keine Nullstellen in L.

Aufgabe 11.2 (8 Punkte)

(a) Zeigen Sie, daß Qˆ º 5, º

7  Qˆ º 5 º

7  ist.

(b) Versuchen Sie das Beispiel in (a) geeignet zu verallgemeinern. Finden Sie heraus, f¨ ur welche a, b > Z die entsprechende Aussage Qˆ º

a, º

b  Qˆ º a º

b  gilt.

(Hinweis: Ist a ~ b eine hinreichende Bedingung? Ist diese Bedingung notwendig?) (c) Sei p ₁ , . . . , p _r eine endliche Folge von paarweise verschiedenen Primzahlen. Zeigen Sie, daß Qˆº p ₁ , . . . , º

p _r  Q 2 ^r ist.

(Hinweis: Verwenden Sie Induktion nach r und beweisen Sie der Einfachheit halber sogar etwas mehr als verlangt. Setzen Sie dazu Qˆº p ₁ , . . . , º

p _r  ² ˜ α ² S α > Qˆº p ₁ , . . . , º p _r  . Es bietet sich beweistechnisch an, folgende weitere Behauptung hinzuzuf¨ ugen

Qˆ º

p ₁ , . . . , º

p _r  ² 9 Q ™ p ^e ₁

p ^e _r

q ² S e ₁ , . . . , e _r > ˜ 0, 1  und q > Qž . Verwenden Sie im Induktionsschritt, daß 1, º

p _r eine Basis f¨ ur Qˆº p ₁ , . . . , º

p _r  uber ¨ Qˆº p ₁ , . . . , º p _{r 1}  bilden und verwenden Sie die Gradformel.)

Bitte wenden!

S. 1/2

Algebra – Blatt 11 S. 2/2

Aufgabe 11.3 Zeigen Sie daß Qˆ º

2, º

1 i  Q 8 ist. (Hinweis: Hierbei bezeichnet w º

1 i eine der beiden m¨ oglichen komplexen Zahlen, deren Quadrat gleich 1 i ist. Es gilt ww º

2.) Aufgabe 11.4

(a) Seien m, n > N , d ggT ˆ m, n  und p > P . Zeigen Sie, mittels Division mit Rest, daß ggT ˆ X ^p

X, X ^p

X  X ^p

X in F p X .

Insbesondere gilt: m S n genau dann, wenn ˆ X ^p

X  S ˆ X ^p

X  .

(Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass ggT ˆ X ^k 1, X ^l 1  X ^ggTˆk,l 1 f¨ ur k, l > N .)

(b) Zeigen Sie: Ist K ein endlicher K¨ orper, mit Primk¨ orper F p , so gilt S K S p ⁿ f¨ ur n K F p und folglich α ^p

α 0 f¨ ur alle α > K.

(c) Folgern Sie: Ist f > F p X irreduzibel vom Grad m, so gilt f S ˆ X ^p

X  .

(d) Seien p > P und n > N . Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabe 10.4 (e): Das Polynom X ^p

X zerf¨ allt in F p X in ein Produkt von paarweise verschiedenen normierten irreduziblen Polynomen.

(e) Seien p > P und n > N . Sei F p ˆ n  die Menge aller normierten irreduziblen Polynome f > F p X mit grad ˆ f  n. Folgern Sie aus den bisherigen Teilaufgaben:

X ^p

X M

m S n

M

f >F

ˆ m 

f.

(f) Folgern Sie mit Hilfe der M¨ obius-Inversion (siehe Aufgabe 10.3):

# F p ˆ n  n ¹ Q

d S n

µ ˆ d  p ^{n ~ d} C n ¹ ‰ p ⁿ ˆ p ^{n ~ 2 1} 1 ˆ p 1  ¹ Ž A 0.

Also gibt es zu jeder vorgegebenen Primzahlpotenz wenigstens einen K¨ orper der Kardinalit¨ at

p ⁿ .