Aufgabe 1: Faraday’sches Gesetz (8 Punkte)

Ubung Grundlagen Elektrodynamik ¨ (SoSe 2014) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus

Ubungsgruppen: ¨

I: Bj¨ orn Eichmann & Mario Keßler (Donnerstags, 14-16 Uhr, NB6/173) II: Isaac Saba & Lukas Merten (Donnerstags, 14-16 Uhr, NB3/158)

Ubungsblatt I ¨ Ausgabe: [09.04.2014]; Abgabe: [23.04.2014]

Aufgabe 1: Faraday’sches Gesetz (8 Punkte)

F¨ ur das elektrische Feld E(~ ~ r, t) und das magnetische Feld B ~ (~ r, t) gilt das Faraday’sche Gesetz:

rot E ~ = − ∂

∂t B ~ (1)

F¨ ur alle ~ r verschwindet das Magnetfeld zu einem bestimmten Zeitpunkt. Zeigen Sie, dass dann f¨ ur alle Zeiten div B ~ = 0 gilt.

Aufgabe 2: Fl¨ achenintegrale (10 Punkte)

Gegeben sei ein Rechteck im dreidimensionalen Raum mit den Eckpunkten (b, a/ √

2, 0), (0, a/ √ 2, 0), (0, 0, a/ √

2), (b, 0, a/ √ 2).

(a) Skizzieren Sie die Lage des Rechtecks im Raum und berechnen Sie das vektorielle Fl¨ achen- element d ~ F sowie die Gesamtfl¨ ache F = | F ~ | durch Integration.

(b) Bestimmen Sie den Fluss des Feldes ~a(~ r) = (y ² , 2xy, 3z ² − x ² ) durch die Fl¨ ache F ~ des Rechtecks.

Aufgabe 3: Die S¨ atze von Gauß und Stokes (12 Punkte)

Wir haben bereits gesehen, dass die Vektoranalysis f¨ ur die Theoretische Physik ein Arsenal an wesentlichen Hilfsmitteln bereitstellt. Insbesondere sind die sogenannten Integrals¨ atze un- verzichtbar.

(a) Verifizieren Sie den Gauß’schen Satz I

O

A ~ · d ~ F = Z

V

div A ~

dV (2)

am Beispiel des Vektorfeldes A(x, y, z) = ~ ax ³ ~ e _x + by ~ e _y + cz ~ e _z durch Berechnung der entsprechenden Integrale. Das Integrationsgebiet sei eine Kugel mit konstantem Radius R, f¨ ur die gilt: x ² + y ² + z ² ≤ R ² .

(b) Verifizieren Sie den Stokes’schen Satz I

C

A ~ · d~ s = Z

F

rot A ~ · d ~ F (3)

f¨ ur die Zirkulation des Vektorfeld A ~ = (4x/3 − 2y)~ e _x + (3y − x)~ e _y um die Ellipse mit

F = {~ r : (x/3) ² + (y/2) ² ≤ 1, z = 0}.