Aufgabe H6.1: [8 Punkte]

Theoretische Plasmaphysik

Ubungen: Lukas Merten, M.Sc und Timo Schorlepp, B.Sc¨

Hausaufgabe 6

Abgabe: 30.11.2017, 16:00 Uhr

Aufgabe H6.1: [8 Punkte]

Die Funktion f(z) =f(x+ iy) =u(x, y) + iv(x, y)∈C sei in z=z0 ∈C komplex differenzierbar.

(a) Nutzen Sie die Definition dieser Eigenschaft, um daraus die G¨ultigkeit der Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen

∂u

∂x = ∂v

∂y und ∂u

∂y =−∂v

∂x (1)

an der Stellez=z₀ zu folgern.

Hinweis: Aus (1) folgt umgekehrt die komplexe Differenzierbarkeit von f(z) (ohne Beweis).

(b) Pr¨ufen Sie auf diesem Wege, welche der Funktionen f1(z) := e^z, f2(z) := ¯z = x−iy und f₃(z) = 1/z holomorph in Csind.

Aufgabe H6.2: [12 Punkte]

(a) Entwickeln Sie die komplexen Funktionen f₁(z) := 1 +z

z² und f₂(z) := sinz

z (2)

umz= 0 in eine Laurent-Reihe, und geben Sie die Residuen bez¨uglich dieser Stelle an.

Um welche Art von Singularit¨at handelt es sich jeweils?

(b) Berechnen Sie die Kurvenintegrale Z

g

z²e^zdz und Z

g

¯

zdz , (3)

wog : [0, π]→C mitg(t) :=e^it die (mit positiver Orientierung durchlaufene) obere H¨alfte des Einheitskreises ist.

(c) Berechnen Sie mit Hilfe des Residuensatzes das reelle Integral Z ∞

−∞

1

1 +x⁴ dx . (4)

Aufgabe H6.3: [10 Punkte]

F¨ur eine reelle Funktionf(t) mitf(t)|_t<0= 0 ist der Zusammenhang zu ihrer Laplace-Transformation F(ω) durch

F(ω) = Z ∞

0

f(t) exp(iωt) dt und f(t) = 1 2π

Z

L

F(ω) exp(−iωt) dω (5) gegeben, wobei die Laplace-Kontur L eine zur reellen Achse parallele Gerade bezeichnet, die ,,hoch genug” (hier: oberhalb von iα) verl¨auft. Nutzen Sie dies zur L¨osung der DGL f⁰(t) =αf(t),α >0.

Anleitung: Best¨atigen Sie zun¨achstF(ω) = if(0)/(ω−iα). F¨ur die R¨ucktransformation schließen SieL durch einen großen unteren Halbkreis und nutzen die Cauchy-Formel. Sie d¨urfen annehmen, dassf holomorph auf ganzC ist.

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