Aufgabe 13.1 (8 Punkte)

(1)

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2019

Algebra Blatt 13

Abgabe der Lösungen bis zum 01.07.2019, 10:30 Uhr in den dafür vorgesehenen Kästen Bitte geben Sie Lösungen zu den ersten beiden Aufgaben ab; weitere Informationen auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Algebra_SS19/.

Aufgabe 13.1 (8 Punkte)

(a) Sei K ein Körper und f ∈ K [X] ein inseparables irreduzibles Polynom. Zeigen Sie:

Die Charakteristik p von K ist positiv, und es existiert ein Polynom g ∈ K [X] derart, daÿ f = g(X

^p

) ist.

(Hinweis: Verwenden Sie die formale Ableitung f

^′

, siehe Aufgabe 10.4.)

(b) Ein Körper K heiÿt perfekt, falls er entweder (i) die Charakteristik 0 hat oder (ii) positive Charakteristik p besitzt und jedes Element von K eine p te Wurzel in K hat.

Zeigen Sie: Über einem perfekten Körper K ist jedes irreduzible Polynom f ∈ K[X]

separabel.

(Hinweis: Verwenden Sie in Charakteristik p > 0 die Frobenius-Abbildung K[X] → K[X] , h = ∑

_i

h

_i

X

ⁱ

↦ h

^p

= ∑

_i

h

_i^p

X

^ip

.)

(c) Beweisen Sie, daÿ jeder endliche Körper perfekt ist.

Aufgabe 13.2 (8 Punkte)

(a) Bestimmen Sie, innerhalb von C, für jedes der nachfolgenden Polynome den Zerfäl- lungskörper über Q. Ermitteln Sie auch den Grad des Zerfällungskörpers über Q.

(i) X

⁴

+ 4, (ii) X

⁴

+ 5X

²

+ 6, (iii) X

⁶

− 8.

(b) Sei L∣K eine algebraische Erweiterung. Eine normale Hülle von L über K ist ein Erweiterungskörper N von L derart, daÿ (i) N ∣K eine normale algebraische Erweiterung ist und (ii) es keinen Zwischenkörper M von N ∣L mit M ≠ N gibt, für den bereits M ∣K normal ist.

Zeigen Sie: Ist L∣K eine endliche Körpererweiterung, dann gibt es bis auf K -Isomorphie genau eine normale Hülle N von L über K , und N ∣K ist endlich.

(Hinweis: Beschreiben Sie N als einen Zerfällungskörper für geeignete Polynome über K .) (c) Bestimmen Sie, innerhalb von C, für jeden der nachfolgenden Körper die normale Hülle über Q. Ermitteln Sie auch den Grad der normalen Hülle über Q.

(i) Q (

⁵

√

3), (ii) Q (

⁷

√

2), (iii) Q (

√ 2, √

3); (iv) Q (

√ 2, √

³

2).

Die Wurzelausdrücke sind dabei als Wurzeln in den positiven reellen Zahlen zu verstehen.

Bitte wenden!

S. 1/2

(2)

Algebra Blatt 13 S. 2/2

Aufgabe 13.3

Wie üblich bezeichnen Sym(n) und Alt(n) die symmetrische bzw. die alternierende Grup- pe vom Grad n .

(a) Bestimmen Sie alle Konjugationsklassen von Sym(5) und von Alt(5) , indem Sie für jede der Konjugationsklassen einen geeigneten Vertreter, deren Zentralisatoren und die Gröÿe der Klasse angeben.

(Hinweis: Denke Sie an die Zykelschreibweise und Aufgabe 4.3. Da Alt(5) ein Nor- malteiler von Sym(5) ist, müssen Sie beim Übergang von Sym(5) zu Alt(5) überle- gen, welche Sym(5) -Konjugationsklassen in Alt(5) liegen und wie sich diese in Alt(5) - Konjugationsklassen aufspalten. Dazu ist es hilfreich die Zentralisatoren der Vertreter in Sym(5) und in Alt(5) zu vergleichen.)

(b) Zeigen Sie, daÿ {1} , Alt(5) und Sym(5) die einzigen Normalteiler von Sym(5) sind.

(Hinweis: Verwenden Sie, daÿ jeder Normalteiler eine Vereinigung von Konjugationsklas- sen ist, sowie Ihre Resultate aus Teil (a).)

(c) Eine endliche Gruppe G ≠ {1} heiÿt einfach, falls sie auÿer {1} und G keine Normal- teiler besitzt. Zeigen Sie, daÿ Alt(5) einfach ist.

(Hinweis: Gehen Sie ähnlich wie in Teil (b) vor.) Aufgabe 13.4

Für die Bearbeitung des Teils (b) dieser Aufgabe benötigen Sie die Sylowschen Sätze, die in Abschnitt 11 der Vorlesung behandelt werden.

(a) Sei p eine Primzahl, und sei G eine Gruppe der Ordnung p

²

. Zeigen Sie, daÿ G entweder zu C

_p²

oder zu C

_p

× C

_p

isomorph ist. Hierbei bezeichnet C

_p²

eine zyklische Gruppe der Ordnung p

²

und C

_p

×C

_p

das direkte Produkt von zwei zyklischen Gruppen der Ordnung p ; in letzterem Fall ist die Multiplikation koordinatenweise gegeben.

(b) Seien p, q Primzahlen mit p > q und q ∤ (p − 1) . Sei G eine Gruppe der Ordnung pq . Zeigen Sie, daÿ G zyklisch ist.

(Hinweis: Verwenden Sie die Sylowschen Sätze, um einzusehen, daÿ die Gruppe G einen Normalteiler der Ordnung p besitzt. Überlegen Sie dann anhand von Aufgabe 6.4, daÿ G abelsch und damit sogar zyklisch sein muÿ.)

Aufgabe 13.1 (8 Punkte)

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2019

Algebra Blatt 13

Abgabe der Lösungen bis zum 01.07.2019, 10:30 Uhr in den dafür vorgesehenen Kästen Bitte geben Sie Lösungen zu den ersten beiden Aufgaben ab; weitere Informationen auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Algebra_SS19/.

Aufgabe 13.1 (8 Punkte)

(a) Sei K ein Körper und f ∈ K [X] ein inseparables irreduzibles Polynom. Zeigen Sie:

Die Charakteristik p von K ist positiv, und es existiert ein Polynom g ∈ K [X] derart, daÿ f = g(X

) ist.

(Hinweis: Verwenden Sie die formale Ableitung f

, siehe Aufgabe 10.4.)

(b) Ein Körper K heiÿt perfekt, falls er entweder (i) die Charakteristik 0 hat oder (ii) positive Charakteristik p besitzt und jedes Element von K eine p te Wurzel in K hat.

Zeigen Sie: Über einem perfekten Körper K ist jedes irreduzible Polynom f ∈ K[X]

separabel.

(Hinweis: Verwenden Sie in Charakteristik p > 0 die Frobenius-Abbildung K[X] → K[X] , h = ∑

h

X

↦ h

= ∑

h

X

.)

(c) Beweisen Sie, daÿ jeder endliche Körper perfekt ist.

Aufgabe 13.2 (8 Punkte)

(a) Bestimmen Sie, innerhalb von C, für jedes der nachfolgenden Polynome den Zerfäl- lungskörper über Q. Ermitteln Sie auch den Grad des Zerfällungskörpers über Q.

(i) X

+ 4, (ii) X

+ 5X

+ 6, (iii) X

− 8.

(b) Sei L∣K eine algebraische Erweiterung. Eine normale Hülle von L über K ist ein Erweiterungskörper N von L derart, daÿ (i) N ∣K eine normale algebraische Erweiterung ist und (ii) es keinen Zwischenkörper M von N ∣L mit M ≠ N gibt, für den bereits M ∣K normal ist.

Zeigen Sie: Ist L∣K eine endliche Körpererweiterung, dann gibt es bis auf K -Isomorphie genau eine normale Hülle N von L über K , und N ∣K ist endlich.

(Hinweis: Beschreiben Sie N als einen Zerfällungskörper für geeignete Polynome über K .) (c) Bestimmen Sie, innerhalb von C, für jeden der nachfolgenden Körper die normale Hülle über Q. Ermitteln Sie auch den Grad der normalen Hülle über Q.

(i) Q (

√

3), (ii) Q (

√

2), (iii) Q (

√ 2, √

3); (iv) Q (

√ 2, √

2).

Die Wurzelausdrücke sind dabei als Wurzeln in den positiven reellen Zahlen zu verstehen.

Bitte wenden!

S. 1/2

Algebra Blatt 13 S. 2/2

Aufgabe 13.3

Wie üblich bezeichnen Sym(n) und Alt(n) die symmetrische bzw. die alternierende Grup- pe vom Grad n .

(a) Bestimmen Sie alle Konjugationsklassen von Sym(5) und von Alt(5) , indem Sie für jede der Konjugationsklassen einen geeigneten Vertreter, deren Zentralisatoren und die Gröÿe der Klasse angeben.

(b) Zeigen Sie, daÿ {1} , Alt(5) und Sym(5) die einzigen Normalteiler von Sym(5) sind.

(Hinweis: Verwenden Sie, daÿ jeder Normalteiler eine Vereinigung von Konjugationsklas- sen ist, sowie Ihre Resultate aus Teil (a).)

(c) Eine endliche Gruppe G ≠ {1} heiÿt einfach, falls sie auÿer {1} und G keine Normal- teiler besitzt. Zeigen Sie, daÿ Alt(5) einfach ist.

(Hinweis: Gehen Sie ähnlich wie in Teil (b) vor.) Aufgabe 13.4

Für die Bearbeitung des Teils (b) dieser Aufgabe benötigen Sie die Sylowschen Sätze, die in Abschnitt 11 der Vorlesung behandelt werden.

(a) Sei p eine Primzahl, und sei G eine Gruppe der Ordnung p

. Zeigen Sie, daÿ G entweder zu C

oder zu C

× C

isomorph ist. Hierbei bezeichnet C

eine zyklische Gruppe der Ordnung p

und C

×C

das direkte Produkt von zwei zyklischen Gruppen der Ordnung p ; in letzterem Fall ist die Multiplikation koordinatenweise gegeben.

(b) Seien p, q Primzahlen mit p > q und q ∤ (p − 1) . Sei G eine Gruppe der Ordnung pq . Zeigen Sie, daÿ G zyklisch ist.

(Hinweis: Verwenden Sie die Sylowschen Sätze, um einzusehen, daÿ die Gruppe G einen Normalteiler der Ordnung p besitzt. Überlegen Sie dann anhand von Aufgabe 6.4, daÿ G abelsch und damit sogar zyklisch sein muÿ.)

(c) Folgern Sie, daÿ Alt(5) keine Untergruppe der Ordnung 15 besitzt.