Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld Präsenzaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Blatt IV vom 12.11.15 Aufgabe IV.1 Die MengensystemeE1

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld

Präsenzaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Blatt IV vom 12.11.15

Aufgabe IV.1

Die MengensystemeE₁, . . . ,E₆ ⊂ P(R) seien definiert durch

E₁ ={(−∞, r]|r∈R}, E₂={(−∞, r) |r ∈R}, E₃ ={(−∞, r)|r ∈Q}, E₄={(−∞, r]|r ∈Q}, E₅ ={A⊂R|A abgeschlossen}, E₆={A⊂R|A kompakt}.

a) Beweisen Sie: σ(E₁) =σ(E₃) =B(R).

b) Machen Sie sich klar, dass auch B(R) =σ(E_i) für jedesi∈ {1, . . . ,6} gilt.

Aufgabe IV.2

Sei Aeine σ-Algebra über R^d, die alle offenen Teilmengen von R^d enthält. Für A⊂R^d undr >0 setzen wir

A_r={x∈A |B(x, r)⊂A}, wobeiB(x, r) ={y ∈R^d | kx−yk< r}.

Beweisen Sie, dass für A∈ Aundr >0giltA_r∈ A.

Aufgabe IV.3

Seif :R^d→Reine beschränkte Funktion. Für ε >0definieren wir f^ε(x) := sup{f(y)| ky−xk< ε}.

SeiA eineσ-Algebra überR^d, die alle offenen Teilmengen von R^denthält.

Zeigen Sie, dass fürf A-messbar undε >0giltf^ε A-messbar.

Aufgabe IV.4

Seien (X,A₁), (Y,A₂) und (Z,A₃) Messräume. Des Weiteren seien g : X → Y und f : Y → Z messbare Funktionen. Zeigen Sie, dass dann auch die Verknüpfung f ◦g messbar ist.