Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld
Präsenzaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Blatt III vom 05.11.15
Aufgabe III.1
Sei(R,B(R), µ)ein Maßraum mit µ(R)<∞. Die durch F(x) =µ((−∞, x])
definierte Funktion F:R→[0,∞) heißtVerteilungsfunktion des Maßes µ.
Beweisen Sie folgende Eigenschaften einer Verteilungsfunktion:
a) Monotonie: Für alle x, y∈R:x≤y⇒F(x)≤F(y).
b) Es gilt für allex∈R:F(x) = lim
h&0F(x+h) (rechtsseitige Stetigkeit).
c) Es gilt: lim
x→−∞F(x) = 0 und lim
x→∞F(x) =µ(R).
Aufgabe III.2
Sei(Ω,A, µ)ein Maßraum. Eine MengeN ∈ Aheißt Nullmenge bzgl.µ, falls µ(N) = 0.
SeiN die Menge aller Nullmengen bzgl. µ.
Zeigen Sie:
a) Es gilt ∅ ∈ N.
b) Falls N ∈ N, M ∈ Aund M ⊂N, dann gilt M ∈ N. c) Für eine Folge(Ni)i∈N mit Ni ∈ N für jedesi∈NgiltS
i∈NNi∈ N.
Aufgabe III.3
Finden Sie ein Beispiel für eine äußeres Maß, welches kein Maß ist.
Aufgabe III.4
Seien Ω eine nichtleere Menge und µ∗ : P(Ω) → [0,∞] ein äußeres Maß. Eine Menge M ⊂Ω heißtµ∗-messbar, falls
µ∗(A) =µ∗(A∩M) +µ∗(A∩Mc) für alle A⊂Ω.
SeiMdie Menge aller µ∗-messbaren Teilmengen vonΩ.
Zeigen Sie, dass fürA∈ M undB ∈ P(Ω)gilt:
µ∗(A∪B) +µ∗(A∩B) =µ∗(A) +µ∗(B).
