Erreichbare Punktzahl: 20

Abgab e bis Dienst ag, 22.11.16, 14 Uhr im P o stfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)

Erreichbare Punktzahl: 20

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2016/17 Universität Bielefeld

Übungsaufgaben zu Reelle Analysis Blatt IV vom 15.11.16

Aufgabe IV.1 (5 Punkte)

Seien(Ω,A, µ) ein Maßraum undp₀≥1. Seif ∈L^p(Ω)für jedesp≥p₀. Zeigen Sie kfk_∞= lim

p→∞kfk_p,

wobei eine Seite endlich ist genau dann, wenn die andere Seite endlich ist.

Aufgabe IV.2 (5 Punkte)

Seien (Ω,A, µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und f : Ω → R eine messbare Funktion.

Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen:

a) Es existiert einC >0, sodass für jedesp∈[1,∞)die Aussagekfk_p ≤Cp erfüllt ist.

b) Es existiert ein c >0, sodassexp(c|f|)∈L¹(Ω).

Aufgabe IV.3 (5 Punkte)

Seienf ∈L¹(R^d)und α >0. Zeigen Sie, dass Funktionen gund bauf R^dexistieren, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:

a) f =g+b.

b) kgk₁≤ kfk₁ und kgk_∞≤2^dα.

c) b=P∞

j=1bj, wobei für jedes j der Träger von bj in einem dyadischen WürfelQj

enthalten ist. Des Weiteren giltQ_k∩Q_l=∅, sofern k6=l.

d) R

Qjbj(x)dx= 0 für jedesj.

e) kb_jk₁≤2^d+1α|Q_j|.

f) P∞

j=1|Q_j| ≤α⁻¹kfk₁.

Hinweis: Orientieren Sie sich an dem Beweis von Satz 1.16 der Vorlesung.

Aufgabe IV.4 (5 Punkte)

SeiΦ : [0,∞)→[0,∞) stetig und konvex. Ferner gelteΦ(t) = 0genau dann, wenn t= 0.

Die MengeLΦ(R) ist als die Menge aller messbaren Funktionenf :R→Rdefiniert, für die einc >0 mit

Z

R

Φ(|f(t)|/c)dt <∞

existiert. Wir definieren den Quotientenvektorraum

L_Φ(R) =LΦ(R)/{f|f = 0 fast überall}.

Als nächstes definieren wir für f ∈L_Φ(R)

kfk_LΦ := inf





 c >0

Z

R

Φ(|f(t)|/c)dt≤1





 .

Zeigen Sie, dass es sich bei k · k_LΦ um eine Norm handelt. Zeigen Sie weiterhin, dass (L_Φ(R),k · k_LΦ) ein Banachraum ist.

Bemerkung: Setzt man für Φ die Funktion y7→y·ln(e+y) ein, so erhält man den Raum (LlogL)(R) aus der Vorlesung. Insbesondere wird in dieser Aufgabe also gezeigt, dass (LlogL)(R) ein Banachraum ist.

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