Abgab e bis Do nner stag, 04.07.19, 16 Uhr im P o stfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Tim Schulze
Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2019 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Mathematik für Biologen und Biotechnologen Blatt XIII vom 27.06.19
Aufgabe XIII.1 (1+4 Punkte)
Wir betrachten das Populationsverhalten von Seevögeln, deren Siedlungsgebiete sich auf zwei Inseln erstrecken. Das Migrationsverhalten werde in dem folgenden Übergangsdia- gramm festgehalten:
Insel 1 Insel 2
0,3 0,8
0,7
0,2
(a) Geben Sie diejenige ÜbergangsmatrixP an, die das Migrationsverhalten der Seevögel beschreibt.
(b) Zeigen Sie, dass ein stabiler Zustand für das zugehörige System existiert.
Verteilen Sie 90.000 Seevögel auf die beiden Inseln, sodass sich das System in einem stabilen Zustand befindet.
Aufgabe XIII.2 (3+2 Punkte) Sei
A= 0 1
a 3
.
(a) Für welche Werte von ahat die MatrixA die beiden Eigenwerte λ1 = 2und λ2 = 1?
(b) Bestimmen Sie die zugehörige Menge der Eigenvektoren zuλ1 und zu λ2.
Aufgabe XIII.3 (3+3 Punkte)
Wir haben in der Vorlesung bereits gesehen, dass beim Wachstumsmodell des exponenti- ellen Wachstums bzw. Zerfall die Änderungsrate proportional zum aktuellen Bestand ist.
In der folgenden Aufgabe geht es um die anderen beiden Wachstumsmodelle, die in der Vorlesung besprochen wurden.
(a) In Abschnitt 2.6.2 der Vorlesung haben wir das Gesetz des beschränkten Wachstums bzw. Zerfalls
y(t) =S−(S−y(t0))e−k(t−t0), (S ∈R, k >0, t≥t0)
kennengelernt. Zeigen Sie, dass dieses Gesetz die Gleichung y0(t) =k(S−y(t))
erfüllt. Geben Sie eine Interpretation dieser Gleichung.
(b) In Abschnitt 2.6.3 der Vorlesung haben wir das Gesetz des beschränkten Wachstums bzw. Zerfalls
y(t) = y(t0)S
y(t0) + (S−y(t0)) exp(−Sk(t−t0)), (S, k >0, t≥t0)
kennengelernt. Zeigen Sie, dass dieses Gesetz die Gleichung y0(t) =k·y(t)·(S−y(t))
erfüllt. Geben Sie eine Interpretation dieser Gleichung.
Aufgabe XIII.4 (4 Punkte + 4 Bonuspunkte)
In der folgenden Aufgabe benutzen wir die Kurzschreibweise für Differentialgleichungen, d.h. wir schreibeny0 anstelle von y0(x) und y anstelle vony(x).
(a) Bestimmen Sie die Lösung y: (0,∞)→Rdes Anfangswertproblems (y0 =−xy2, x >0,
y(1) = 1.
Führen Sie zur Überprüfung Ihres Ergebnisses eine Probe durch.
(b) Bestimmen Sie die Lösung y:R→Rdes Anfangswertproblems (y0=y+y·x, x∈R,
y(1) = 1.
Führen Sie zur Überprüfung Ihres Ergebnisses eine Probe durch.
Hinweis: Bringen Sie die DGL zunächst in die Form einer DGL mit getrennten Variablen, indem Sie geeignet ausklammern, vgl. Beispiel 6.2 (ii) im Skript.
Aufgabe XIII.5 (6 Punkte) Gegeben seien die Matrix
A=
1 −2 1
0 1 2
1 −1 2
und die Vektoren
b1 =
1 0 2
, b2 =
−1
−1
−1
, b3 =
−4 2 8
, b4 =
π e 0
.
Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der GleichungssystemeAx=bi füri= 1,2,3,4.
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