Abgab e bis Do nner stag, 13. J u ni 2019, 12.00 Uhr im P ost fa c h Ihre r T u torin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2018 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Geometrie (Gym/Ge) Blatt VII vom 7. Juni 2019
Aufgabe VII.1 (10 Punkte)
Beweisen Sie, dass in einer projektiven Ebene der Satz von Pappos den Satz von Desargues impliziert.
Hinweis: Diese Implikation ist in der Literatur als Satz von Hessenberg bekannt. Sie dürfen gerne Quellen verwenden bzw. den Beweis aus Quellen übertragen. Bitte geben Sie in diesem Fall die Quelle an. Beachten Sie dabei, dass manche Quellen die Implikation nur in speziellen Situationen zeigen (was natürlich Teilpunkte geben würde).
Wir greifen im Folgenden Aufgabe V.2 wieder auf. Seien Kein Körper undK3 der dreidi- mensionale Vektorraum über K. SeienP die Menge aller eindimensonalen Unterräume von K und G die Menge aller zweidimensonalen Unterräume von K. Elemente aus P nennen wir Punkte und Elemente aus G nennen wir Geraden. Gegeben a1, a2, a3 ∈ K (nicht alle gleich Null), so ist ein PunktP
a1
a2 a3
die Klasse aller Vektoren
λa1
λa2 λa3
mit
λ6= 0. Wir nennen
a1 a2
a3
die Koordinaten des PunktesP
a1 a2
a3
. Gegebenl, r, s∈K, so
ist eine Gerade `(r, s, t) die Klasse aller
a1
a2 a3
mit ra1+sa2+ta3 = 0. Damit ist die Inzidenzrelation „Punkt liegt auf Gerade“ bereits klar definiert. Gezeigt haben wir, dass hierdurch eine projektive Ebene gegeben ist.
Aufgabe VII.2 (5 Punkte) SeienP
a1 a2
a3
undP
b1 b2
b3
zwei verschiedene Punkte und λ∈K. Zeigen Sie:
a) Nicht alle Ausdrückea1+λb1,a2+λb2,a3+λb3 sind gleich Null.
b) P
a1
a2
a3
und P
b1
b2
b3
und P
a1+λb1
a2+λb2
a3+λb3
sind kollinear.
Aufgabe VII.3 (5 Punkte) Seien P
a1 a2
a3
, P
b1 b2
b3
und P
c1 c2
c3
drei verschiedene kollineare Punkte. Zeigen Sie, dass dannλund µexistieren mit λa+µb=c, d.h.λai+µbi =ci für allei∈ {1,2,3}.
