Abgab e bis F reitag, 1 2.12.14, 12 Uhr im P ostfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2014/2015 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Analysis 1 Blatt VIII vom 04.12.14
Aufgabe VIII.1 (8 Punkte)
a) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. Beweisen Sie Ihre Behauptung.
(i)
∞
X
k=1
1
k!, (ii)
∞
X
k=2
k2−1 k4−k,
(iii)
∞
X
k=1
pk4+ 1−k2, (iv)
∞
X
k=1
1 2+ 1
k k
.
b) Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen:
(i)
∞
X
k=0
2k−3k
22k , (ii)
∞
X
k=0
1
(3k+ 1)(3k−2).
Aufgabe VIII.2 (5 Punkte)
a) Beim Anwenden des Wurzelkriteriums verwendet man häufig die Tatsache
n→∞lim
√n
n= 1. Beweisen Sie diese Aussage.
Hinweis: Zeigen Sie, dass die durchan= √n
n−1definierte Folge gegen Null konvergiert, indem Sie den Ausdruck(1 +an)n geeignet abschätzen.
b) Sei 0 < q < 1. Zeigen Sie mit dem Wurzelkriterium, dass die folgende Reihe konvergiert:
∞
X
k=1
kqk.
Aufgabe VIII.3 (3 Punkte) Beweisen Sie den folgenden Satz:
Satz: Sei(an) eine reelle Zahlenfolge mit an>0. Es gebe ein c >1 und n0 ∈Nderart, dass für allen≥n0 gilt:
an+1 an
≤1− c n. Dann konvergiert
∞
X
k=1
|ak|.
Falls ein n0 ∈Nexistiert, sodass für alle n≥n0 gilt an+1
an ≥1− 1 n. Dann ist
∞
X
k=1
ak divergent.
Aufgabe VIII.4 (4 Punkte)
Sei z ∈ C. Untersuchen Sie die unten stehenden Reihen auf Konvergenz. Machen Sie gegebenenfalls eine Fallunterscheidung.
(i)
∞
X
k=1
zk
k2, (ii)
∞
X
k=1
zk k .
2
