Abgab e bis Do nner stag, 27.06.19, 16 Uhr im P o stfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Tim Schulze
Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2019 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Mathematik für Biologen und Biotechnologen Blatt XII vom 20.06.19
Aufgabe XII.1 (2+4 Punkte)
Zur Untersuchung der Populationentwicklung einer Art wird die Population in zwei Lebensabschnittsgruppen (Jungtiere und Alttiere) unterteilt. Fürn∈N0 sei v0(n) bzw.
v1(n)die Anzahl der Jungtiere bzw. die Anzahl der Alttiere zum Zeitpunktn. Es bezeichne g0(n) bzw. g1(n) die durchschnittliche Anzahl der Neugeburten pro Jungtier bzw. pro Alttier zwischen den Zeitpunkten n und n+ 1. Des Weiteren gebe s0(n), s1(n) den jeweiligen Anteil der Jungtiere bzw. Alttiere an, die zwischen den Zeitpunktennundn+ 1 sterben. Wir gehen davon aus, dass zwischen den Zeitpunkten nund n+ 1alle Alttiere sterben (also s1(n) = 1 für alle n∈ N0) und alle überlebenden Jungtiere zu Alttieren werden. Wir setzen
v(n) =
v0(n) v1(n)
.
(a) Geben Sie eine MatrixL(n)∈R2×2 an, sodass für allen∈N0 gilt v(n+ 1) =L(n)v(n).
(b) Seien v0(0) = 800, v1(0) = 3000, g0(0) = 0, g1(0) = 0,6 unds0(0) = 0,2. Bestimmen Sie für n= 1,2,3,4 die Anzahl der Jung- und Alttiere. Gehen Sie hierbei davon aus, dass die Geburten- und Sterberaten konstant bleiben.
Aufgabe XII.2 (2+3 Punkte)
Seix∈R. Wir betrachten die folgende Matrix
A(x) =
cos(x) 0 sin(x)
0 1 0
−sin(x) 0 cos(x)
.
(a) Zeigen Sie: Für jedesx∈R giltdet(A(x))6= 0.
(b) Berechnen Sie für jedes x ∈ R die Inverse von A(x). Hinweis: Sie können bei der Rechnung cos(x) 6= 0 oder sin(x) 6= 0 annehmen und die entsprechenden Fälle anschließend separat behandeln.
Aufgabe XII.3 (2+2 Punkte)
Sie haben zwei Lösungen: Eine Lösung mit40% Methanol und20%Formaldehyd und eine andere Lösung mit30%Methanol und 10%Formaldehyd.
(a) Sie wollen einen Liter einer neuen Lösung mit15% Methanol und10%Formaldehyd herstellen. Funktioniert dies und wenn ja, wie?
(b) Sie wollen einen Liter einer neuen Lösung mit25% Methanol und12%Formaldehyd herstellen. Funktioniert dies und wenn ja, wie?
Aufgabe XII.4 (5 Punkte)
Bestimmen Siea∈(0,∞) derart, dass die eingeschlossene Fläche zwischen dem Graphen der Funktion
f :
−1 2,∞
→R, f(x) = 1
√2x+ 1
und der x-Achse auf dem Intervall[a,4]einen Inhalt von 1Flächeneinheit hat.
Aufgabe XII.5 (3+2 Bonuspunkte) Gegeben ist die Funktion
f :R→R, f(x) =x3−1.
(a) Zeigen Sie dass die Funktion umkehrbar ist und bestimmen Sie die Zuordnungsvor- schrift vonf−1 : (−1,∞)→(0,∞) und dessen Ableitung.
(b) Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion vonf indem Sie den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion verwenden und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus dem vorangegangenen Aufgabenteil.
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