Abgab e bis F reitag, 0 5.12.14, 12 Uhr im P ostfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2014/2015 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Analysis 1 Blatt VII vom 27.11.14
Aufgabe VII.1 (6 Punkte)
a) Bringen Sie die folgenden komplexen Zahlen in die Form z=a+ib, wobeia, b∈R und bestimmen Sie|z|.
(i) z= 3
2i, (ii)z= 1 +i
1−i, (iii) z= (4−3i)3. b) Bestimmen Sie alle Zahlen z∈C, welche
1 +z 1−z
2
=−1
erfüllen.
c) Weisen Sie die folgende Rechenregel fürw, z∈Cnach:
|z+w|2+|z−w|2= 2|z|2+ 2|w|2.
Veranschaulichen Sie diese Rechenregel in der komplexen Zahlenebene. Welche geometrische Interpretation hat diese Gleichung?
d) Bestimmen Sie alle Zahlen z∈C mit
(i)2z2−4z=−4, (ii) z3+z2+z= 0.
Aufgabe VII.2 (4 Punkte) Beweisen Sie folgenden Satz:
Satz: Sei(zn) eine Folge inC. Dann sind äquivalent:
(i) Die Folge (zn) konvergiert.
(ii) Die Folgen (Re(zn)) und (Im(zn))konvergieren.
In diesem Fall gilt lim
n→∞zn= lim
n→∞Re(zn) +i lim
n→∞Im(zn).
Aufgabe VII.3 (5 Punkte)
Eine Weinbergschnecke (Helix pomatia) kriecht von einem Ende eines 1 Meter langen Gummibandes mit konstanter Geschwindigkeit von5cm/h dem anderen Ende des Bandes entgegen. Nach Ablauf der ersten und jeder weiteren Stunde wird das Gummiband homogen1 (also gleichmäßig) gedehnt, so dass sich das Band um einen Meter verlängert.
Wird die Schnecke in endlicher Zeit das Ende des Gummibandes erreichen ?
1 Bei dem Dehnungsprozess ändert sich die relative Position der Schnecke in Bezug auf die beiden Endpunkte des Bandes nicht.
Aufgabe VII.4 (5 Punkte)
a) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. Beweisen Sie Ihre Behaup- tungen.
(i)
∞
X
k=2
1 +k2
k3−k, (ii)
∞
X
k=1
99k (k+ 1)3,
(iii)
∞
X
k=1
√k+ 1−√
√ k
k , (iv)
∞
X
k=1
2(k−1)
|3−k2|.
b) Sei s >1. Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert:
∞
X
k=1
1 ks.
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Folge der Partialsummen durch 1
1−21−s beschränkt ist.
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