Abgab e bis F reitag, 1 0.06.16, 12 Uhr im P ostfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2016 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Funktionalanalysis Blatt VIII vom 03.06.16
Aufgabe VIII.1 (5 Punkte)
SeiX 6={0}ein normierter Raum. Zeigen Sie, dass jedes Funktional T ∈X0 mitT 6= 0 offen ist.
Aufgabe VIII.2 (4 Punkte)
Wir betrachten den normierten RaumC1([0,1]), versehen mit der Supremumsnorm. Sei Dder Ableitungsoperator, d.h.
D: (C1([0,1]),k · k∞)→(C([0,1]),k · k∞), D(f) =f0.
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass D ein linearer und unbeschränkter Operator ist.
Zeigen Sie, dass D abgeschlossen ist. Was bedeutet dies für den normierten Raum (C1([0,1]),k · k∞)?
Aufgabe VIII.3 (3+2 Punkte) SeiX ein Banachraum.
a) SeienY undZabgeschlossene Unterräume vonXderart, dass jedesx∈Xeindeutig in der Formx=y+z mity∈Y, z∈Z darstellbar ist. Beweisen Sie die Existenz einer KonstantenC ≥0, die für alle x=y+z∈X die Ungleichungen
kyk ≤Ckxk, kzk ≤Ckxk erfüllt.
Hinweis: Betrachten Sie die AbbildungenQ:X →Y, Q(x) =Q(y+z) =y, P :X → Z, P(x) =P(y+z) =z. Wenden Sie auf P und Q den Satz vom abgeschlossenen Graphenan.
b) Sei T : X → X eine lineare Abbildung, die T2 = T erfüllt. Weiterhin seien der NullraumN(T)und das Bild T(X) abgeschlossene Unterräume von X. Zeigen Sie, dassT stetig ist.
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, dass X =N(T)⊕T(X) ist. Benutzen Sie nun a).
Aufgabe VIII.4 (4+2 Punkte)
a) SeienX =Y =`2(K) undA:X ⊃D→Y definiert als A((xn)) = (nxn), (xn)∈D, wobei
(i) D={(xn)∈`2(K)|(nxn)∈`2(K)}
(ii) D={(xn)∈KN|xn6= 0 für höchstens endlich viele n}.
Untersuchen Sie, obA in beiden Fällen ein abgeschlossener Operator ist.
b) Seien X, Y normierte Räume, D ein Untervektorraum von X und A : D → Y definiert durch Ax= 0 für allex∈D. IstAabgeschlossen?
