April 2016 Aufgabe 1 (5+5+5 Punkte) SeienΩ ={a, b, c, d, e} undM ={{a},{a, b

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld

Klausur Maß- und Integrationstheorie (240021) 2. Termin am 8. April 2016

Aufgabe 1 (5+5+5 Punkte)

SeienΩ ={a, b, c, d, e} undM ={{a},{a, b}}.

(a) Geben Sieσ(M) an.

(b) Geben Sie eineσ-AlgebraA überΩan mit A ⊃σ(M)und A 6=σ(M).

(c) Geben Sie zwei Maße auf σ(M)an, welche nicht identisch sind, wohl aber auf M übereinstimmen.

Lösungsvorschlag:

(a) Es gilt

σ(M) ={{a},{b},{a, b},{a, c, d, e},{b, c, d, e},{c, d, e},∅,Ω}.

(b) Eineσ-Algebra mit den gewünschten Eigenschaften istP(Ω).

(c) Seien µ₁ definiert durch µ₁(A) = 0 für alle A ∈σ(M) und µ₂ definiert durch µ₂(A) =1{c∈A}. Dann gilt für alleA∈M µ₁(A) =µ₂(A), aber µ₁6=µ₂.

Aufgabe 2 (10 Punkte)

Formulieren Sie den Satz von der majorisierten Konvergenz (Satz von Lebesgue).

Lösungsvorschlag:

Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und (f_n) eine Folge A-messbarer Funktionen f_n : Ω → R. Die Folge (f_n) konvergiere µ-fast überall gegen eine A-messbare Funktion f. Ferner gebe es eine µ-integrierbare Funktion g derart, dass

|f_n| ≤g µ-fast überall.

Dann sindf und f_n µ-integrierbar und es gilt

n→∞lim Z

Ω

|f_n−f|dµ= 0,

sowie

n→∞lim Z

Ω

fndµ= Z

Ω

fdµ.

Aufgabe 3 (10 Punkte)

SeiD={(x, y)∈R²|x²+y² <1}. Berechnen Sie Z

D

e^−|z|2dz .

Lösungsvorschlag:

Da die Funktionz7→e^−|z|2 rotationssymmetrisch ist, verwenden wir Polarkoordianten und erhalten

Z

D

e^−|z|2dz= 2π

1

Z

0

re^−r2dr=−2π 1

2e^−r2

1 0

=π(1−e⁻¹).

Aufgabe 4 (5+5 Punkte)

Seien f, g ∈ L²(R^d)∩L¹(R^d). Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist und begründen Sie Ihre Entscheidung.

(a) Z

R^d

f gdλ2

≤Z

R^d

f²dλZ

R^d

g²dλ

(b) Z

R^d

f gdλ≤Z

R^d

fdλ Z

R^d

gdλ

Lösungsvorschlag:

(a) Die Aussage folgt direkt aus der Hölderschen Ungleichung fürp=q = 2 Z

f gdλ≤ Z

f²dλ

1/2Z g²dλ

1/2

durch Quadrieren beider Seiten.

(b) Wir betrachten die Funktionf =1(0,1) undg=−1(−1,0). Dann istf g≡0und damit auchR

f gdλ= 0.

Auf der rechten Seite erhalten wir aber Z

fdλ Z

gdλ

= 1(−1) =−1.

Aufgabe 5 (4+4+12 Punkte) Betrachtet werde die durch

f_n=

n

X

k=1

k⁻¹1[k,k+1)

definierte Funktionenfolge(fn)auf [1,∞)⊂R. Untersuchen Sie, ob diese Folge (a) λ-punktweise fast überall,

(b) dem Maßeλnach,

(c) in der Norm vonL¹(dλ),L²(dλ) bzw.L³(dλ) konvergiert.

Lösungsvorschlag:

a) Die Funktionenfolge (f_n)n∈N konvergiert λ-fast überall gegen die durch

f(x) =

∞

X

k=1

k⁻¹1[k,k+1), (1)

definierte Funktionf : [1,∞)→R, denn fürx∈[1,∞) undn >dxegilt

|f_n(x)−f(x)|=

∞

X

k=n+1

k⁻¹1[k,k+1)= 0.

b) Die Folge konvergiert dem Maßeλnach gegen die Funktionf aus (1). Sei hierzuδ >0beliebig. Dann gilt für allen > ¹_δ

{x∈[1,∞)| |f_n(x)−f(x)|> δ}={x∈[n+ 1,∞)| |f(x)|> δ}=∅.

Also

n→∞lim λ({x∈[1,∞)| |f_n(x)−f(x)|> δ}) = 0.

c) Die Funktionenfolge konvergiert nicht in derL¹(dλ)-Norm, denn es gilt

n→∞lim Z

[1,∞)

fn dλ= lim

n→∞

n

X

k=1

1 k =∞.

Die Funktionenfolge konvergiert inL²(dλ) gegen die Funktion f wie oben definiert, denn

kf_n−fk²_L2(dλ)= Z

[n+1,∞)

f(x)²dλ=

∞

X

k=n+1

1 k² −→

n→∞0.

Die Funktionenfolge konvergiert in derL³(dλ)-Norm gegen die Funktion f wie oben definiert, denn Z

[1,∞)

|f_n−f|³ dλ=

∞

X

k=n+1

1 k³ −→

n→∞0.

Aufgabe 6 (5+5+5+10 Punkte)

(a) SeiB die Einheitskugel im R³. Beweisen Sie Z

B

x²yd(x, y, z) = 0 = Z

B

xd(x, y, z).

(b) Sei wie üblichS²=∂B die Einheitssphäre imR³. Geben Sie die äußere Einheitsnormale ν an S an.

(c) Geben Sie eine FunktionF :R³→R³ an mit der Eigenschaft

hF(x, y, z), ν(x, y, z)i=x⁴y+y²z²+xz²

für (x, y, z)∈ S².

(d) Berechnen Sie das Integral

Z

S²

x⁴y+y²z²+xz²dO,

indem Sie den Satz von Gauß und (a)-(c) verwenden.

Hinweis:Lösen Sie möglichst viele Teilaufgaben, wenn Sie nicht alle Teilaufgaben lösen können.

Lösungsvorschlag:

(a) Aufgrund von Symmetrieeigenschaften der Einheitskugel gilt Z

B

x²yd(x, y, z) = Z

B∩{y>0}

x²yd(x, y, z) + Z

B∩{y<0}

x²yd(x, y, z)

= Z

B∩{y>0}

x²yd(x, y, z)− Z

B∩{y>0}

x²yd(x, y, z) = 0

und

Z

B

xd(x, y, z) = Z

B∩{x>0}

xd(x, y, z) + Z

B∩{x<0}

xd(x, y, z)

= Z

B∩{x>0}

xd(x, y, z)− Z

B∩{x>0}

xd(x, y, z) = 0.

(b) Es gilt für alle(x, y, z)∈ S² ν(x, y, z) = (x, y, z).

(c) Aus (b) folgt, dass

F(x, y, z) = yx³, yz², xz

die gewünschte Eigenschaft besitzt.

(d) Mit dem Satz von Gauß gilt Z

S²

hF(x, y, z), ν(x, y, z)idO= Z

B

divF(x, y, z)dV.

Damit folgt unter Verwendung von Teil (a) und Übergang zu Kugelkoordinaten Z

S²

x⁴y+y²z²+xz²dO= Z

B

3yx²+z²+xdV = 0 + Z

B

z²dV+ 0

= 2π

π

Z

0 1

Z

0

r⁴sin(θ) cos²(θ)drdθ= 2 5π

π

Z

0

sin(θ) cos²(θ)dθ= 4π 15.

Aufgabe 7 (8+2 Punkte)

(a) Fürn∈Nsei f_n:R→R eine messbare Funktion. Beweisen Sie, dass dann auch die beiden Funktionen lim sup

n∈N

f_n und lim inf

n∈N

f_n

messbar sind.

(b) Sei f : R → R, f(x) = P

k∈Z

1[2k,2k+1)(x). Für n ∈ N sei f_n(x) = f(2ⁿx). Geben Sie für die beiden Funktionen

lim sup

n∈N

fn und lim inf

n∈N

fn

eine einfache Darstellung an. Ein Beweis ist nicht erforderlich.

Lösungsvorschlag:

(a) Wir definieren die Hilfsfunktionen g₁(x) = inf

n∈N

f_n(x) und g₂(x) = sup

n∈N

f_n(x).

Sei jetztr ∈R beliebig. Wegen

{sup

n∈N

f_n≤r}=

∞

\

n=1

{f_n≤r} ∈ B(R)

istg₂ messbar. Analog folgt aus

{inf

n∈N

f_n≥r}=

∞

\

n=1

{f_n≥r} ∈ B(R)

die Messbarkeit vong1. Da die Verknüpfung messbarer Funktionen messbar ist folgt die Aussage, denn lim sup

n∈N

fn= inf

n∈N

sup

k≥n

fk und lim inf

n∈N

fn= sup

k∈N k≥ninffk.

(b) Es gilt

lim sup

n∈N

fn= 1 und lim inf

n∈N

fn= X

l,k∈Z

1{l2^k}.