1 Das deduktive System
F 0
1.1 Axiome und Regeln
Ax1 : A → (B → A)
Ax2 : (A → (B → C)) → ((A → B ) → (A → C)) Ax 3 : (¬ A → ¬ B ) → ( B → A )
M P : A, A → B B
1.2 Deduktionstheorem
Σ, A ⊢ F 0 B
gdw.Σ ⊢ F 0 (A → B)
1.3 Theoreme
1 : ⊢ F 0 (A → A)
2 : (A → B ), (B → C) ⊢ F 0 (A → C) 3 : ⊢ F 0 ¬¬A → A
4 : ⊢ F 0 ( A → B ) → (( B → C ) → ( A → C )) 5 : ⊢ F 0 ( B → (( B → A ) → A ))
6 : ⊢ F 0 (¬ B → ( B → A )) 7 : ⊢ F 0 ( B → ¬¬ B )
8 : ⊢ F 0 ( A → B ) → (¬ B → ¬ A )
und2.1 Axiome und Regeln
Ax1 : Γ, A ⊢ G A, ∆
Ax2 : Γ, A, ¬A ⊢ G ∆
Ax3 : Γ ⊢ G A, ¬A, ∆
R ∧ , ∨ : Γ, A, B ⊢ G ∆ Γ, (A ∧ B ) ⊢ G ∆
Γ ⊢ G A, B, ∆ Γ ⊢ G , (A ∨ B), ∆
R → : Γ, A ⊢ G ∆, B Γ ⊢ G ( A → B ) , ∆
Γ ⊢ G A, ∆; Γ, B ⊢ G ∆ Γ , ( A → B ) ⊢ G ∆
R ¬ : Γ, A ⊢ G ∆ Γ ⊢ G ¬ A, ∆
Γ ⊢ G A, ∆ Γ , ¬ A ⊢ G ∆
R ∧ ′ , ∨ ′ : Γ ⊢ G A, ∆; Γ ⊢ G B, ∆ Γ ⊢ G (A ∧ B), ∆
Γ , A ⊢ G ∆; Γ , B ⊢ G ∆
Γ, (A ∨ B) ⊢ G ∆
3.1 Regeln
Konjunktion:
∧
_I : A, B
A ∧ B ∧
_E : A ∧ B
A
Disjunktion:
∨
_I : A
A ∨ B ∨
_E : A ∨ B, ¬A
B
Implikation:
→
_E : A, A → B
B
(Modus-Ponens)→
_E : ¬B, A → B
¬ A
(Modus-Tollens)Negation:
¬
_E : A, ¬A
B ¬
_E : ¬¬A
A
Äquivalenz:
↔
_E : A ↔ B
A → B ↔
_E : A ↔ B
B → A
Transitivität:
↔
_I : A ↔ B, B ↔ C A ↔ C
Deduktionstheorem:
→
_I : A 1 , . . . , A n , B ⊢ H C A 1 , . . . , A n ⊢ H B → C)
Redutioadabsurdum:
¬
_I : A 1 , . . . , A n , B ⊢ H C, A 1 , . . . , A n , B ⊢ H ¬C A 1 , . . . , A n ⊢ H ¬ B
Hypothetisher Syllogismus:
A → B, B → C
A → C
OftkommtdieFrage auf,wie man eigentlihBeweise inKalkülenndet. Eine generelle
Vorgehensweise gibtes dafürniht, letztlihistesÜbungssahe. Tehniken, diezum Er-
folgführen können,orientierensih aberhäuganunserer natürlihen Artzu beweisen.
In einigen Fällen ist es nützlih, die herzuleitende Formel zuerst hinzushreiben und
den Beweis gewissermaÿen rükwärts zu führen. Man suht also eine oder mehrere an-
dereFormeln,aus der diegewünshteFormeldurh Anwendung einerRegel hervorgeht.
Diessind dieVoraussetzungen, diegelten müssen, damitdie zu beweisendeFormelgilt.
Falls diese Vorausetzungen keine Axiome oder Prämissen sind, müssen sie nun natür-
lihselbst gezeigtwerden,solangebisnurnohAxiomeoderPrämissenvorliegen.Diese
MethodekommtnihtnurinKalkülenbzw.TheorembeweisernzurAnwendung, sondern
istdiezentraleIdee hinter allenVerfahren,diewirimLaufederVorlesungkennenlernen.
Bei semantishen Tableaux ist z.B. eine Formel erfüllbar, wenn es einen vollständigen,
oenen Ast unterhalbdieser Formelgibt. Es istjedoh niht trivial,dierihtigen Vo-
raussetzungen zu nden, die zum Zielführen und mitdenen der Beweis möglihst kurz
wird.
Auh Menshen zerlegen Aussagen in Beweisverpihtungen, die sie dann jede für sih
zeigen,bisnurnohtrivialeAussagenzubeweisensind.Dieswirdz.B.immerdanndeut-
lih,wenn zunähst Lemmata bewiesen werden, aus denendann am Ende einTheorem
gefolgert wird. Wer sih dann fragt,wie man eigentlih auf solhe Beweise kommt, der
solltesihdenBeweisvomEndeheranshauen.AuhhintervermeintlihkomplexenBe-
weistehniken wie z.B. vollständiger Induktion stekt nihts anderes als eine Zerlegung
in Beweisverpihtungen: Einerseits muss gezeigt werden, dass die Aussage für
n = 0
giltund andererseits, dass aus der Gültigkeit für
n
auh die Gültigkeitfürn + 1
folgt.Auh Induktionsprinzipienkann man inForm von Regelnin Kalkülenausdrüken.
EineanderehäugverwendeteBeweistehnikistderindirekteoderWiderspruhsbeweis.
Diese Tehnik sollte jedem z.B. aus Mathematikvorlesungen bekannt sein: Man nimmt
an, dass das Gegenteil der zu zeigenden Aussage gilt und folgert daraus etwas wider-
sprühlihes. Auh diese Idee stekt in unseren Methoden, Tautologien nahzuweisen
bzw.inder shon vomAnfangder Vorlesungbekannten Aussage
Σ | = A
gdw.Σ ∪ {¬ A }
unerfüllbar.In den Übungenwurdebereits gezeigt,dass diesesPrinzip fürKalküle (
F 0
)giltundeswirdz.B.durhRegelnwiedieRedutioadAbsurdumimHilbertkalkülbzw.
Theorem 11 für
F 0
formalisiert. Ein Widerspruhsbeweis für⊢ H A → A
könnte bspw.A 1 ≡ ¬(A → A)
PrämisseA 2 ≡ ¬(¬ A ∨ A )
ImplikationsgesetzA 3 ≡ ¬¬ A ∧ ¬ A
de MorganA 4 ≡ A ∧ ¬A
DoppelnegationA 5 ≡ A ∧ E
A 6 ≡ ¬A ∧ A
KommutativitätA 7 ≡ ¬A ∧ E
An dieser Stelle ist gezeigt, dass
¬(A → A) ⊢ H A
und¬(A → A) ⊢ H ¬A
gilt. Mitder Redutio ad Absurdum giltnun
⊢ H ¬¬( A → A )
, woraus in einem weiteren ShrittA → A
hergeleitetwerdenkann.Ganz ähnlihläuftsolheinBeweisinF 0
ab, dortkannman z.B.
¬(A → A) ⊢ F 0 A → A
zeigen und muss dann, um Theorem 11 anwenden zukönnen, noh etwas mitdem Deduktionstheorem herumspielen.
Etwas komplizierter wird es, wenn man mit dem Hilbertkalkül z.B.
⊢ H ¬( A ↔ ¬ A )
nahweisen möhte. Man kann relativ leiht
A ↔ ¬A ⊢ H A ∨ A
undA ↔ ¬A ⊢ H
¬A ∨ ¬A
zeigen und muss jetzt noh zusätzlihA ∨ A ⊢ H A
herleiten, bevor man dieRedutioadAbsurdumanwendenkann.LetztererBeweisistselbstwiederrelativeinfah
alsWiderspruhsbeweis zu führen.