Abgab e bis F reitag, 0 4.12.15, 12 Uhr im P ostfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Blatt VI vom 26.11.15
Aufgabe VI.1 (5 Punkte)
Seien(Ω,A, µ)ein Maßraum undf : Ω→[0,∞] eine messbare Funktion. Zeigen Sie, dass durch
ν(A) = Z
Ω
1A(x)f(x)µ(dx)
ein Maß aufA definiert wird.
Aufgabe VI.2 (2+3 Punkte)
a) Geben Sie eine Funktionenfolge(gn) nichtnegativer Treppenfunktionen gn:R→[0,∞)an, welche die folgende Eigenschaft hat:
∀x∈R: lim
n→∞gn(x) = 0, aber
n→∞lim Z
R
gn dλ=∞.
Welche Voraussetzung von Satz 2.17 aus der Vorlesung ist verletzt?
b) Geben Sie eine Funktionenfolge (fn)von Treppenfunktionenfn:R→Ran, die den Voraussetzungen des Lemmas von Fatou genügt und für die gilt:
Z
R
lim inf
n→∞ fndλ <lim inf
n→∞
Z
R
fndλ.
Aufgabe VI.3 (5 Punkte)
Seien (Ω,A, µ)ein Maßraum mit endlichem Maß µ. Seien (fn)n∈N eine Folge von Funk- tionen fn: Ω→Rmit der Eigenschaft, dass für ein δ >0gilt:
sup
n∈N
Z
Ω
|fn|1+δdµ <∞.
Beweisen Sie, dass die Folge(fn)n∈N in folgendem Sinne gleichmäßig integrierbar ist1: Für jedes ε >0 existiert einM >0 derart, dass
Z
{x∈Ω :|fn(x)|>M}
|fn(x)|µ(dx)< ε
für alle n∈N.
1Eine Folge mit dieser Eigenschaft wird oft auch gleichgradig integrierbar genannt.
Aufgabe VI.4 (5 Punkte)
Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum, f : Ω→ C eine bzgl.µ über Ω integrable Funktion und α∈C. Zeigen Sie
Z
Ω
αf dµ=α Z
Ω
f dµ.
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