Abgab e bis F reitag, 1 4.11.14, 12 Uhr im P ostfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2014/2015 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Analysis 1 Blatt IV vom 06.11.14
Aufgabe IV.1 (4 Punkte)
a) Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass füra, b∈K gilt:
(i) (−1)a= (−a), (ii) (−a)(−b) =ab.
b) SeienK ein geordneter Körper unda, b∈K. Dann gilt:
|a| − |b|
≤ |a−b|.
Hinweis: Sie dürfen die Dreiecksungleichung aus der Vorlesung verwenden.
Aufgabe IV.2 (4 Punkte)
a) Sei X=N×N. Zeigen Sie, dass durch
(m, n)∼(m0, n0), fallsm+n0 =m0+n, eine Äquivalenzrelation aufX definiert ist.
b) Sei X=Z×(Z\ {0}). Zeigen Sie, dass durch
(a, b)∼(a0, b0), fallsab0=a0b, eine Äquivalenzrelation aufX definiert ist.
Aufgabe IV.3 (6 Punkte)
Untersuchen Sie die Folge(an)n∈N auf Beschränktheit und beweisen Sie Ihre Behauptung:
a) an= n+12n für n∈N, b) an= 3n+nn+n42+1 für n∈N,
c) an= (−1)2n−1 816n−2−n1 fürn∈N. Aufgabe IV.4 (6 Punkte)
a) Seien(an) und(bn) Folgen, definiert durch (i) an= 1 +2n2n−1 für n∈N,
(ii) b0 = 0, b1 = 1, bn+1 = 23bn+13bn−1 für n∈N. Zeigen Sie, dass (an) und(bn) Cauchy-Folgen inQsind.
b) Betrachten Sie die Folgen an= 1 + 1
n n
, bn= 1 + 1 n
n+1
für n∈N. Beweisen Sie:
(i) (an) wächst streng monoton, (ii) (bn) fällt streng monoton,
Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe III.4, aus der z.B. fürn≥2folgt:
1− 1 n2
n
≥1−1
n ⇔ 1 + 1 n
n 1− 1
n n
≥1− 1 n.
2
