Erreichbare Punktzahl: 20

Abgab e bis F reitag, 0 3.06.16, 12 Uhr im P ostfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)

Erreichbare Punktzahl: 20

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2016 Universität Bielefeld

Übungsaufgaben zu Funktionalanalysis Blatt VII vom 27.05.16

Aufgabe VII.1 (5 Punkte)

Seid∈N. Zeigen Sie, dass jede konvexe MengeA⊂R^d, die eine Basis desR^d und den Nullvektorenthält, ein nichtleeres Inneres hat, d.h. int(A)6=∅.

Aufgabe VII.2 (4 Punkte)

SeienX ein Banachraum und T ∈ L(X) mit der Eigenschaft, dass zu jedemx∈X ein n∈Nexistiert mit Tⁿx= 0. Zeigen Sie unter Verwendung desSatzes von Baire, dass ein m∈N existiert, derart dassT^m = 0.

Aufgabe VII.3 (3+1+2 Punkte)

Seienp, q∈(1,∞)mit¹_p+¹_q = 1. SeiX = (C([0,1]),k·k_p), wobeikfk_p= R1

0 |f(x)|^pdx ¹_p

für f ∈ C([0,1]). Seien (bn) und (cn) Folgen in [0,1] mit bn ≤ cn∀n ∈ N. Ferner sei (a_n)∈R^N. Für jedes n∈Nwird durch

Tn:X→R, Tnf =an cn

Z

bn

f(x) dx

ein Funktional definiert.

Zeigen Sie:

(i) Für jedesn∈NgiltT_n∈X⁰ undkT_nk=|a_n|(c_n−b_n)^1q.

(ii) Die Folge(T_n)∈(X⁰)^N ist punktweise gleichmäßig beschränkt genau dann, wenn die Folge(an(cn−bn))beschränkt ist.

(iii) Es existiert eine Folge (S_n)∈(X⁰)^N, die zwar punktweise gleichmäßig beschränkt, jedoch nicht gleichmäßig beschränkt ist, d.h. ∀f ∈X gilt sup_n∈NkS_nfk<∞, aber es gilt auch sup_n∈NkS_nk=∞.

Warum widerspricht die Aussage (iii) nicht demSatz von Banach–Steinhaus? Aufgabe VII.4 (5 Punkte)

Seien X ein normierter Vektorraum und(x_n) eine Folge inX mit der Eigenschaft, dass

∀T ∈X⁰:P∞

n=1|T x_n|<∞. Zeigen Sie:

sup

kTk≤1

∞

X

n=1

|T x_n|<∞.