Erreichbare Punktzahl: 20

Abgab e bis Dienst ag, 15.11.16, 14 Uhr im P o stfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)

Erreichbare Punktzahl: 20

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2016/17 Universität Bielefeld

Übungsaufgaben zu Reelle Analysis Blatt III vom 08.11.16

Aufgabe III.1 (5 Punkte)

Sei 0 < ε < ¹₂. Zeigen Sie: Für jede messbare Menge M ⊂ R existiert ein nichtleeres offenes und beschränktes Intervall I ⊂Rmit

ε≥ |M ∩I|

|I| oder |M ∩I|

|I| ≥1−ε.

Hinweis: Nehmen Sie an, die Aussage sei fürM falsch. Untersuchen Sie dann die Funktion f =1^M∩B1.

Aufgabe III.2 (2+2 Punkte)

Sei0 ein Dichtigkeitspunkt der MengeM ⊂R.

a) Beweisen Sie die Existenz einer Folge von Punkten xn∈M mitxn6= 0undxn→0 (n→ ∞), die zusätzlich−x_n∈M für allen erfüllt.

b) Beweisen Sie die Existenz einer Folge von Punkten x_n∈M mitx_n6= 0undx_n→0 (n→ ∞), die zusätzlich2xn∈M für alle nerfüllt.

Aufgabe III.3 (3+3 Punkte)

Eine Familie {k_ε}_ε von L¹(R^d) Funktionen heißt Approximation der Eins, wenn die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind.

(i) Es gibt eine KonstanteC >0, sodass für jedes ε >0 die Aussagekk_εk₁≤C gilt.

(ii) Für jedes ε >0 giltR

R^dkε = 1.

(iii) Ist U eine Umgebung der 0, so gilt R

R^d\U|k_ε| →0für ε→0.

Seien nun d= 1und

a) k(x) =_π(x2¹+1), k_ε(x) =¹_εk(ε⁻¹x). Zeigen Sie, dass es sich bei der Familie {k_ε} um eine Approximation der Eins handelt.

b) k_n(x) = _2π¹ Pn j=−n

1−^|j|_n

e^ijx·1(−π,π)(x). Zeigen Sie zunächst

kn(x) = 1 2πn

sin ¹₂nx sin ¹₂x

!2

·1(−π,π)(x).

Beweisen Sie dann, dass{k_n}_n eine Approximation der Eins ist. (Lesen Sie dafür die Definition mitnanstelle von ε, d.h. ersetzen Sie für jedesε >0durchfür jedes n∈Nsowieε→0 durchn→ ∞.)

Aufgabe III.4 (5 Punkte)

Diese Aufgabe kann als Verallgemeinerung von Lemma 1.6 aus der Vorlesung angesehen werden. Sei {k_ε}_ε eine Approximation der Eins. Beweisen Sie: Falls f ∈ L^p(R^d) für 1≤p <∞, sokk_ε∗f −fk_p →0für ε→0.