Erreichbare Punktzahl: 20

Abgab e bis Donn e rsta g, 11. Ap r il 2019, 1 2.00 Uhr im P ostfac h Ihrer T uto r in /Ihre s T utors (V3-128)

Erreichbare Punktzahl: 20

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2018 Universität Bielefeld

Übungsaufgaben zu Geometrie (Gym/Ge) Blatt I vom 4. April 2019

Aufgabe I.1 (6 Punkte)

Beschreiben Sie die geometrische Form der folgenden Mengen. Erläutern Sie Ihre Herleitung oder fertigen Sie eine Zeichnung an.

(i)

(x, y, z)∈R³|x² = 4 , (ii)

(x, y, z)∈R³|x²+y²+z² = 1 , (iii)

(x, y, z)∈R³|^x₄² +y²+z²= 1 , (iv)

(x, y, z)∈R³|x²+y²−z² = 1 , (v)

(x, y, z)∈R³|x²+y²−z² =−1 , (vi)

(x, y, z)∈R³|^x₄² +y²−z²=−1 .

Aufgabe I.2 (3+3+4+4 Punkte)

SeienV ein Vektorraum über einem KörperKund W ein Unterraum vonV. Die Menge M ⊂V sei nicht leer. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(i) Für z, x∈V giltz+ (x+M) = (z+x) +M.

(ii) Angenommenx∈V undy ∈x+W. Dann giltx+W =y+W.

(iii) Jede Ebene in R³ ist eine Verschiebung eines zweidimensionalen Unterraums. Jede Gerade in R³ oderR² ist eine Verschiebung eines eindimensionalen Unterraums.

(iv) Jede Verschiebung eines zweidimensionalen Unterraums von R³ ist eine Ebene. Jede Verschiebung eines eindimensionalen Unterraums von R³ oder R² ist eine Gerade.

Hinweis: Wir verwenden hier in Aufgabe 2 folgende Definition. Seienb∈R, a∈R³ mit a6= 0. Eine Ebene inR³ ist eine Menge von Punktenx∈R³, für die gilt (a, x) =b.