Abgab e bis F reitag, 2 7.05.16, 12 Uhr im P ostfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2016 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Funktionalanalysis Blatt VI vom 20.05.16
Aufgabe VI.1 (2+1+2 Punkte)
SeienX ein Banachraum undY ein abgeschlossener Unterraum vonX. Wir definieren eine Funktion auf dem Faktorraum X/Y durch
kξk:= inf{kxk |x∈ξ} fürξ ∈X/Y. (1) Bemerkung.Der RaumX/Y besteht aus Äquivalenzklassen der folgenden Äquivalenzrela- tion aufX:x1 ∼x2 genau dann, wennx1−x2 ∈Y.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
a) Durch (1) ist eine Norm auf dem Faktorraum X/Y definiert.
b) Der RaumX/Y ist bezüglich der Norm (1) vollständig.
c) Wenn der UnterraumY vonX nicht abgeschlossen ist, definiert (1) im Allgemeinen keine Norm auf X/Y.
Aufgabe VI.2 (4 Punkte)
SeienX ein Banachraum undY ein abgeschlossener Unterraum vonX mit Y 6=X. Für jedesx∈X definieren wir den Abstandd(x, Y) von xund Y durch
d(x, Y) = inf
y∈Ykx−yk.
Angenommen für ein x0 ∈X gilt D:=d(x0, Y)>0. Beweisen Sie, dass es ein stetiges Funktionalf auf X gibt, das
f(x0) =D,
f(y) = 0 für jedesy∈Y, kfk= 1
erfüllt.
Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Hahn–Banach auf dem FaktorraumX/Y. Aufgabe VI.3 (1+2+3 Punkte)
Definiere zus∈Rdie MengeMs={f ∈C([−1,1]) |f(0) =s}.Offensichtlich sind die MengenMs nichtleer und fürs6=tgiltMs∩Mt=∅. Zeigen Sie:
a) Für jedes sistMs konvex.
b) Für jedes sistMs dicht in L2([−1,1]).
c) Für s6=tlassen sich die MengenMs undMt im RaumL2([−1,1])nicht durch eine abgeschlossene Hyperebene trennen.
Aufgabe VI.4 (5 Punkte)
SeienX ein normierter Vektorraum über RundY ein abgeschlossener Unterraum mit Y 6=X. Seif ∈Y0. Zeigen Sie, dass f durch ein Funktional F ∈X0 derart fortgesetzt werden kann, dass kFk>kfk gilt.
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