Abgab e bis F reitag, 1 5.07.16, 12 Uhr im P ostfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2016 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Funktionalanalysis Blatt XIII vom 08.07.16
Aufgabe XIII.1 (2+4 Punkte)
Aus der Vorlesung kennen wir das folgende Lemma.
Lemma 8.19. Seif ∈L1loc(Ω)mit Z
Ω
f ϕ= 0 für alle ϕ∈Cc∞(Ω).
Dann giltf = 0 fast überall.
a) Beweisen Sie das Lemma zunächst für den Fall, dass f eine stetige Funktion ist.
b) Beweisen Sie nun den allgemeinen Fall f ∈ L1loc(Ω), indem Sie f durch ρε∗f approximieren. Hierbei ist ρε ein Glättungskern.
Aufgabe XIII.2 (4 Punkte)
SeienI ⊂Rein (nicht notwendig beschränktes) Intervall sowie f ∈L1loc(I). Definiere für x0 ∈I eine Funktion v:I →Rdurch
v(x) =
x
Z
x0
f(t)dt.
Zeigen Sie, dass v∈C(I) und dassf die schwache Ableitung vonv ist.
Aufgabe XIII.3 (5 Punkte)
Seiend≥2und g:Rd⊃B1/2(0)→Rdefiniert durch g(x) =
(log|log|x||, fallsx6= 0,
7, fallsx= 0.
Zeigen Sie g∈W1,d(B1/2(0)).
Aufgabe XIII.4 (5 Punkte)
SeiΩ = (0, R)dfür einR >0. Zeigen Sie, dass füru∈Cc∞(Ω)gilt:
Z
Ω
|u|2 ≤R2 Z
Ω
|∇u|2.
Hinweis: Verwenden Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung in einer derdRichtungen.
