Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zur Analysis I Blatt I vom 16.10.2009
(Abgabe bis Freitag, 23.10., 12 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors)
Aufgabe I.1 (4 Punkte)
Die Aussage E(x, y) sei wie unten angegeben. Formulieren Sie dann auf Deutsch
∀x∃y : E(x, y),
∃y∀x : E(x, y).
∃x∀y : E(y, x).
(a) Studentin x hat sich in Student y verliebt.
(b) Leser x von Aufgabe I.y findet diese merkwürdig.
Aufgabe I.2 (2 Punkte)
Ist die folgende Aussage immer wahr1oder hängt sie von den Wahrheitswerten vonA, B ab? Beweisen Sie Ihre Behauptung.
(¬A∧ ¬B)⇒(B ⇒ ¬A)
Aufgabe I.3 (4 Punkte)
Lösen Sie das ¬(·) auf, d.h. finden Sie eine logisch äquivalente Aussage, welche ohne ¬ beginnt.
(a) ¬(∀x∈X:E(x)) (b) ¬(∃x∈X :E(x))
(c) ¬(∀x∈X : (∃y∈Y :E(x, y))) (d) ¬(∃x∈X : (∀y∈Y :E(x, y)))
Aufgabe I.4 (4 Punkte)
Sind die folgenden Aussagen wahr? Beweisen Sie Ihre Behauptung.
(a)∀x∈R∃y∈R∀z∈R:
(x≤2)∧(y≤3)∧(z≥4)⇒(x+y≤z) (b)∀x∈R∃y∈R∀z∈R:
(x≤2)∨(y≤3)
∧(z≥4)⇒(x+y≤z) (c)∃x∈R∀y ∈R∀z∈R:
(x≤2)∧(y≤3)∧(z≥4)⇒(x+y≤z)
1Der Logiker würde sagen, dass diese Formel allgemeingültig ist.
1
Aufgabe I.5 (4 Punkte)
(a) Es sei f :X→Y eine Abbildung. Beweisen Sie, dass durch die Festsetzung x∼y ⇔f(x) =f(y)
eine Äquivalenzrelation aufX definiert wird.
(b) SeiX =Y =R. Wie sehen die Äquivalenzklassen aus, wenn 1) f(x) = sin(x) ,
2) f(x) =x2 ?
Aufgabe I.6 (2 Punkte)
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
n
X
k=1
k2= n(n+ 1)(2n+ 1)
6 .
2
